Kelas 11Kelas 10mathTeori BilanganKombinatorika
Banyak bilangan yang kurang dari 1.000 , tetapi jumlah
Pertanyaan
Banyak bilangan yang kurang dari 1.000, tetapi jumlah angka penyusunannya sama dengan 6 adalah ....
Solusi
Verified
28
Pembahasan
Soal ini meminta kita untuk mencari banyaknya bilangan yang kurang dari 1.000 tetapi jumlah angka penyusunannya sama dengan 6. Bilangan yang kurang dari 1.000 adalah bilangan 1-digit, 2-digit, dan 3-digit. Kita akan memecah soal ini berdasarkan jumlah digit bilangan tersebut. Kasus 1: Bilangan 1-digit. Satu-satunya bilangan 1-digit yang jumlah angkanya 6 adalah 6. Jadi, ada 1 bilangan (yaitu 6). Kasus 2: Bilangan 2-digit. Misalkan bilangan tersebut adalah 'ab', di mana a adalah angka puluhan dan b adalah angka satuan. Kita tahu bahwa a ∈ {1, 2, ..., 9} dan b ∈ {0, 1, ..., 9}. Kita mencari bilangan 'ab' sedemikian rupa sehingga a + b = 6. Pasangan (a, b) yang memenuhi a + b = 6 adalah: (1, 5) -> bilangan 15 (2, 4) -> bilangan 24 (3, 3) -> bilangan 33 (4, 2) -> bilangan 42 (5, 1) -> bilangan 51 (6, 0) -> bilangan 60 Ada 6 bilangan 2-digit yang jumlah angkanya 6. Kasus 3: Bilangan 3-digit. Misalkan bilangan tersebut adalah 'abc', di mana a adalah angka ratusan, b adalah angka puluhan, dan c adalah angka satuan. Kita tahu bahwa a ∈ {1, 2, ..., 9}, b ∈ {0, 1, ..., 9}, dan c ∈ {0, 1, ..., 9}. Kita mencari bilangan 'abc' sedemikian rupa sehingga a + b + c = 6. Ini adalah masalah distribusi integer non-negatif dengan batasan. Kita bisa menggunakan metode 'stars and bars', tetapi dengan batasan bahwa a ≠ 0. Cara yang lebih mudah adalah dengan mendaftar atau menggunakan kombinasi. Kita mencari solusi dari a + b + c = 6 dengan a ≥ 1, b ≥ 0, c ≥ 0. Misalkan a' = a - 1. Maka a' ≥ 0. (a' + 1) + b + c = 6 a' + b + c = 5 Sekarang kita mencari solusi dari a' + b + c = 5, di mana a', b, c ≥ 0. Ini adalah masalah kombinasi dengan pengulangan. Jumlah solusi = C(n + k - 1, k - 1) atau C(n + k - 1, n) Di mana n adalah jumlah total (5) dan k adalah jumlah variabel (3). Jumlah solusi = C(5 + 3 - 1, 3 - 1) = C(7, 2) C(7, 2) = 7! / (2! * (7-2)!) = 7! / (2! * 5!) = (7 * 6) / (2 * 1) = 42 / 2 = 21. Jadi, ada 21 bilangan 3-digit yang jumlah angkanya 6. Total banyaknya bilangan: Total = (Bilangan 1-digit) + (Bilangan 2-digit) + (Bilangan 3-digit) Total = 1 + 6 + 21 = 28. Mari kita periksa kembali untuk bilangan 3-digit dengan a+b+c=6, a>=1, b>=0, c>=0. Jika a=1, b+c=5. (1,0,5), (1,1,4), (1,2,3), (1,3,2), (1,4,1), (1,5,0) -> 6 bilangan. Jika a=2, b+c=4. (2,0,4), (2,1,3), (2,2,2), (2,3,1), (2,4,0) -> 5 bilangan. Jika a=3, b+c=3. (3,0,3), (3,1,2), (3,2,1), (3,3,0) -> 4 bilangan. Jika a=4, b+c=2. (4,0,2), (4,1,1), (4,2,0) -> 3 bilangan. Jika a=5, b+c=1. (5,0,1), (5,1,0) -> 2 bilangan. Jika a=6, b+c=0. (6,0,0) -> 1 bilangan. Total bilangan 3-digit = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21. Ini sesuai dengan hasil menggunakan stars and bars. Jadi, total banyaknya bilangan yang kurang dari 1.000 tetapi jumlah angka penyusunannya sama dengan 6 adalah 1 (untuk 1-digit) + 6 (untuk 2-digit) + 21 (untuk 3-digit) = 28.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Kombinasi, Distribusi Integer
Section: Penerapan Kombinasi, Stars And Bars
Apakah jawaban ini membantu?