Kelas 11Kelas 12mathTrigonometri
Titik-titik sudut degitiga samakaki ABC terletak pada
Pertanyaan
Titik-titik sudut segitiga samakaki ABC terletak pada lingkaran berjari-jari 7cm. jika alas AB=2√7, maka tan A =
Solusi
Verified
tan A = √7 + √6
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai tan A dari segitiga samakaki ABC yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran berjari-jari 7 cm dan alas AB = 2√7 cm. Misalkan O adalah pusat lingkaran dan R adalah jari-jari lingkaran (R = 7 cm). Karena segitiga ABC samakaki dengan alas AB, maka sudut C adalah sudut puncak, dan sudut A dan B adalah sudut alas yang sama besar. Dalam segitiga ABC, kita dapat menggunakan aturan sinus: AB / sin C = AC / sin B = BC / sin A = 2R Kita tahu AB = 2√7 dan R = 7. Maka, AB / sin C = 2R 2√7 / sin C = 2 * 7 2√7 / sin C = 14 sin C = 2√7 / 14 sin C = √7 / 7 Karena segitiga ABC samakaki, maka sudut A = sudut B. Dalam segitiga ABC, jumlah sudut adalah 180 derajat: A + B + C = 180° A + A + C = 180° 2A = 180° - C A = (180° - C) / 2 A = 90° - C/2 Maka, tan A = tan (90° - C/2) tan A = cot (C/2) Kita perlu mencari nilai cot (C/2). Kita bisa menggunakan identitas trigonometri: cos C = 1 - 2 sin²(C/2) 1 + cos C = 2 cos²(C/2) Kita juga tahu bahwa sin C = 2 sin(C/2) cos(C/2). Dari sin C = √7 / 7, kita bisa mencari nilai cos C menggunakan identitas sin²C + cos²C = 1. cos²C = 1 - sin²C cos²C = 1 - (√7 / 7)² cos²C = 1 - (7 / 49) cos²C = 1 - 1/7 cos²C = 6/7 cos C = ±√(6/7) Karena A dan B adalah sudut dalam segitiga, dan AB adalah alas, maka sudut C kemungkinan lancip, sehingga cos C positif. Mari kita asumsikan cos C = √(6/7). Sekarang kita bisa mencari tan A = cot (C/2). Kita tahu bahwa cot(θ/2) = (1 + cos θ) / sin θ. Maka, tan A = cot (C/2) = (1 + cos C) / sin C tan A = (1 + √(6/7)) / (√7 / 7) tan A = (1 + √6/√7) / (√7 / 7) tan A = ((√7 + √6) / √7) / (√7 / 7) tan A = (√7 + √6) / √7 * 7 / √7 tan A = (√7 + √6) * 7 / 7 tan A = √7 + √6 Namun, ada pendekatan yang lebih sederhana. Kita bisa menggunakan sifat segitiga yang terlukis dalam lingkaran. Buat garis tinggi dari C ke AB, memotong AB di titik D. Karena segitiga ABC samakaki, D adalah titik tengah AB. Maka AD = DB = AB/2 = (2√7)/2 = √7. Misalkan sudut CAB = A. Dalam segitiga siku-siku ADC, kita punya: tan A = CD / AD Kita perlu mencari panjang CD. Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ADC: AC² = AD² + CD² Kita juga tahu bahwa AC adalah sisi segitiga ABC. Dalam segitiga ABC, kita bisa gunakan aturan cosinus: AB² = AC² + BC² - 2 AC * BC * cos C Karena AC = BC, maka AB² = 2AC² - 2AC² cos C AB² = 2AC² (1 - cos C) Kita juga tahu dari segitiga ADC, sin A = CD / AC dan cos A = AD / AC = √7 / AC. Maka AC = √7 / cos A. Substitusikan AC ke persamaan AB²: (2√7)² = 2(√7 / cos A)² (1 - cos C) 28 = 2(7 / cos²A) (1 - cos C) 28 = 14/cos²A (1 - cos C) 2 = (1 - cos C) / cos²A 2 cos²A = 1 - cos C Ini kembali ke identitas yang sama. Mari kita gunakan pendekatan lain. Misalkan O adalah pusat lingkaran. Hubungkan O ke A dan O ke B. Segitiga OAB adalah segitiga sama kaki dengan OA = OB = R = 7. AB = 2√7. Kita bisa mencari sudut AOB menggunakan aturan kosinus pada segitiga OAB: AB² = OA² + OB² - 2 OA * OB * cos(∠AOB) (2√7)² = 7² + 7² - 2 * 7 * 7 * cos(∠AOB) 28 = 49 + 49 - 98 * cos(∠AOB) 28 = 98 - 98 * cos(∠AOB) 98 * cos(∠AOB) = 98 - 28 98 * cos(∠AOB) = 70 cos(∠AOB) = 70 / 98 = 10 / 14 = 5 / 7 Sudut pusat ∠AOB adalah dua kali sudut keliling ∠ACB. ∠AOB = 2C. cos(2C) = 5/7. Kita tahu cos(2C) = 2 cos²C - 1. 5/7 = 2 cos²C - 1 5/7 + 1 = 2 cos²C 12/7 = 2 cos²C cos²C = 6/7 cos C = √(6/7) (kita ambil positif karena sudut C dalam segitiga lancip). Sekarang kita kembali ke segitiga ABC. Kita tahu A + B + C = 180° dan A = B. 2A = 180° - C A = 90° - C/2 tan A = tan(90° - C/2) = cot(C/2) Kita gunakan identitas cot(x/2) = sin x / (1 - cos x). Jadi, tan A = sin C / (1 - cos C). Kita perlu mencari sin C. sin²C = 1 - cos²C = 1 - 6/7 = 1/7. Jadi sin C = √(1/7) = 1/√7 = √7/7. tan A = (√7/7) / (1 - √6/√7) tan A = (√7/7) / ((√7 - √6) / √7) tan A = √7/7 * √7 / (√7 - √6) tan A = 7 / (7 * (√7 - √6)) tan A = 1 / (√7 - √6) Untuk merasionalkan penyebut: tan A = 1 / (√7 - √6) * (√7 + √6) / (√7 + √6) tan A = (√7 + √6) / (7 - 6) tan A = √7 + √6 Mari kita coba pendekatan lain dengan menggunakan sudut pusat yang berhubungan dengan sudut keliling. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan sudut pusat ∠AOB adalah ∠ACB. ∠ACB = ∠AOB / 2 Kita bisa mencari cos(∠AOB) seperti sebelumnya: cos(∠AOB) = 5/7. Perhatikan segitiga ABC. AB = 2√7. OA=OB=OC=7. Misalkan CD adalah garis tinggi dari C ke AB. D adalah titik tengah AB, sehingga AD = √7. Dalam segitiga siku-siku ADC, tan A = CD/AD = CD/√7. Kita perlu mencari CD. CD = CO + OD atau CD = CO - OD tergantung posisi O. Misalkan kita proyeksikan OA dan OB ke garis tinggi CD. Atau, kita bisa gunakan fakta bahwa sudut A adalah sudut keliling yang menghadap busur BC. Sudut pusat yang menghadap busur BC adalah ∠BOC. Menurut aturan kosinus pada segitiga BOC: BC² = OB² + OC² - 2 OB * OC * cos(∠BOC) Karena segitiga ABC samakaki, BC = AC. Cara yang paling pasti adalah menggunakan hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling. Sudut pusat yang menghadap busur AB adalah ∠AOB. Kita sudah hitung cos(∠AOB) = 5/7. Sekarang perhatikan segitiga ABC. Sudut A adalah sudut keliling. Sudut pusat yang menghadap busur BC adalah ∠BOC. Jika kita tahu ∠BOC, kita bisa mencari sudut A. Hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sudut pusat = 2 * sudut keliling. Jadi, ∠BAC (yaitu A) menghadap busur BC. Sudut pusat yang menghadap busur BC adalah ∠BOC. Kita perlu mencari ∠BOC. Dalam segitiga OAB, OA=OB=7, AB=2√7. Gunakan aturan cosinus untuk mencari ∠OAB dan ∠OBA. AB² = OA² + OB² - 2 OA * OB cos(∠AOB) -> ini sudah dilakukan. Kita tahu bahwa ∠CAB = A. Perhatikan segitiga OAC. OA = OC = 7. AC = BC. Perhatikan segitiga OBC. OB = OC = 7. BC = AC. Jika kita gunakan sudut pusat yang menghadap busur AC, yaitu ∠AOC. Kita tahu ∠AOB + ∠BOC + ∠AOC = 360° (jika O di dalam segitiga) atau tergantung posisi O. Karena O adalah pusat lingkaran luar segitiga, dan segitiga ABC terlukis dalam lingkaran. Ada hubungan bahwa sudut yang dibentuk oleh tali busur AB di pusat lingkaran adalah 2 kali sudut yang dibentuk di keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama. Sudut pusat ∠AOB = 2 ∠ACB. Sudut pusat ∠BOC = 2 ∠BAC = 2A. Sudut pusat ∠AOC = 2 ∠ABC = 2A. Karena ∠AOB + ∠BOC + ∠AOC = 360° (jika O di dalam). Atau, jika O di luar, kita perlu melihat diagram. Karena segitiga ABC samakaki, sumbu simetri dari C ke AB akan melewati O. Jadi O terletak pada garis tinggi dari C ke AB. Misalkan garis tinggi dari C ke AB adalah CD. O terletak pada CD. ∠AOB + ∠BOC + ∠AOC = 360° jika O di dalam. Tapi O adalah pusat lingkaran luar. Dalam segitiga OAB, kita dapat mencari tinggi dari O ke AB, sebut saja OM, di mana M adalah titik tengah AB. Segitiga OMA siku-siku. OA² = OM² + AM² 7² = OM² + (√7)² 49 = OM² + 7 OM² = 42 OM = √42. Sekarang perhatikan segitiga OAC. OA=7, OC=7. AC = BC. Dalam segitiga ABC, gunakan aturan sinus: AB/sin C = AC/sin B = BC/sin A = 2R AB = 2√7, R=7. AC / sin B = 2 * 7 = 14. Karena A=B, AC / sin A = 14. AC = 14 sin A. Dari segitiga siku-siku ADC, AD = √7. cos A = AD / AC = √7 / (14 sin A). cos A = √7 / (14 sin A) sin A cos A = √7 / 14. (1/2) sin(2A) = √7 / 14. sin(2A) = 2√7 / 14 = √7 / 7. Jika sin(2A) = √7 / 7, maka cos(2A) = √(1 - (√7/7)²) = √(1 - 7/49) = √(1 - 1/7) = √(6/7). Kita tahu cos(2A) = 2 cos²A - 1. √(6/7) = 2 cos²A - 1. cos²A = (1 + √(6/7)) / 2. cos A = √((1 + √(6/7)) / 2). Ini menjadi rumit. Mari kita kembali ke tan A = cot(C/2) = sin C / (1 - cos C). Kita punya sin C = √7/7 dan cos C = √(6/7). tan A = (√7/7) / (1 - √6/√7) tan A = (√7/7) / ((√7 - √6)/√7) tan A = (√7/7) * (√7 / (√7 - √6)) tan A = 7 / (7 * (√7 - √6)) tan A = 1 / (√7 - √6) tan A = √7 + √6. Ada cara lain yang lebih sederhana menggunakan geometri. Misalkan O adalah pusat lingkaran. OA=OB=OC=7. AB=2√7. Karena segitiga ABC samakaki, garis tinggi dari C ke AB akan melalui pusat O. Misalkan titik D adalah tengah AB. AD = √7. Segitiga OAD adalah segitiga siku-siku di D. OA = 7, AD = √7. Sin(∠AOD) = AD/OA = √7 / 7. Cos(∠AOD) = OD/OA. OD = √(OA² - AD²) = √(7² - (√7)²) = √(49 - 7) = √42. Cos(∠AOD) = √42 / 7. Dalam segitiga ABC, sudut A adalah sudut keliling yang menghadap busur BC. Sudut pusat yang menghadap busur BC adalah ∠BOC. ∠BOC = 2A. Perhatikan segitiga OBC. OB=OC=7. Misalkan titik M adalah titik tengah BC. OM tegak lurus BC. Kita tahu ∠AOB. cos(∠AOB) = 5/7. Dalam segitiga sama kaki ABC, dengan alas AB. Sudut A dan B sama besar. Misalkan kita menggunakan sisi AC = BC = x. Pada segitiga ADC, cos A = AD/AC = √7 / x. Pada segitiga ABC, gunakan aturan cosinus: AB² = AC² + BC² - 2 AC BC cos C (2√7)² = x² + x² - 2 x² cos C 28 = 2x² (1 - cos C) 14 = x² (1 - cos C) Kita juga tahu dari aturan sinus: AB/sin C = 2R 2√7 / sin C = 14 sin C = 2√7 / 14 = √7 / 7. cos²C = 1 - sin²C = 1 - (√7/7)² = 1 - 7/49 = 1 - 1/7 = 6/7. cos C = √(6/7). Substitusikan cos C ke persamaan 14 = x² (1 - cos C): 14 = x² (1 - √(6/7)) x² = 14 / (1 - √(6/7)) x² = 14 / ((√7 - √6)/√7) x² = 14√7 / (√7 - √6) x² = 14√7 (√7 + √6) / ((√7 - √6)(√7 + √6)) x² = 14√7 (√7 + √6) / (7 - 6) x² = 14√7 (√7 + √6) x² = 14 * 7 + 14√42 x² = 98 + 14√42. Sekarang kita gunakan cos A = √7 / x. cos²A = 7 / x² cos²A = 7 / (98 + 14√42) cos²A = 7 / (14 * (7 + √42)) cos²A = 1 / (2 * (7 + √42)) cos²A = 1 / (14 + 2√42). Ini juga terlihat rumit. Mari kembali ke tan A = cot(C/2) = (1 + cos C) / sin C. Kita punya cos C = √(6/7) dan sin C = √7/7. tan A = (1 + √(6/7)) / (√7/7) tan A = ((√7 + √6)/√7) / (√7/7) tan A = (√7 + √6) / √7 * 7 / √7 tan A = (√7 + √6) * 7 / 7 tan A = √7 + √6. Mari kita cek apakah ada cara yang lebih geometris. Misalkan O adalah pusat lingkaran. OA = OB = OC = 7. AB = 2√7. Segitiga OAB adalah sama kaki. Tinggi dari O ke AB (misal di M) membagi AB menjadi 2 bagian sama panjang, AM = MB = √7. Dalam segitiga siku-siku OMA, sin(∠AOM) = AM/OA = √7/7. Karena segitiga ABC samakaki, garis tinggi dari C ke AB akan melalui O. Misalkan titik tinggi itu D, sehingga AD = √7. Segitiga OAD siku-siku di D. OA = 7, AD = √7. Perhatikan sudut A. ∠CAB = A. Dalam segitiga siku-siku ADC, tan A = CD/AD = CD/√7. Kita perlu mencari CD. CD = CO + OD atau CD = CO - OD. Jika O di dalam segitiga, CD = CO + OD = R + OD = 7 + OD. Jika O di luar segitiga, CD = R - OD atau OD - R. Kita bisa gunakan sudut AOB. cos(∠AOB) = 5/7. ∠AOB adalah sudut pusat menghadap busur AB. Sudut keliling yang menghadap busur AB adalah ∠ACB. ∠AOB = 2 ∠ACB. cos(2 ∠ACB) = 5/7. Dalam segitiga ABC, A + B + C = 180. Karena A=B, 2A + C = 180. A = 90 - C/2. tan A = tan(90 - C/2) = cot(C/2). Kita perlu mencari cot(C/2). Kita tahu cos C = √(6/7). Identitas: cot(x/2) = (1 + cos x) / sin x. tan A = (1 + cos C) / sin C. Kita punya sin C = √7/7 dan cos C = √6/√7 = √42/7. tan A = (1 + √42/7) / (√7/7) tan A = ((7 + √42)/7) / (√7/7) tan A = (7 + √42) / √7 tan A = 7/√7 + √42/√7 tan A = √7 + √6. Jadi, tan A = √7 + √6.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Identitas Trigonometri, Lingkaran, Segitiga Samakaki
Section: Lingkaran Luar Segitiga, Hubungan Sudut Pusat Dan Sudut Keliling
Apakah jawaban ini membantu?