Banyaknya akar riil dari persamaan f(x) =x^5 + 7x^4 -4x^3

Persamaan tersebut memiliki 5 akar riil.

Pembahasan

Untuk menentukan banyaknya akar riil dari persamaan f(x) = x⁵ + 7x⁴ - 4x³ - 19x² + 17x - 2, kita dapat menggunakan Teorema Descartes tentang Akar.

Teorema Descartes menyatakan bahwa:
1.  Jumlah akar riil positif dari suatu polinomial sama dengan jumlah perubahan tanda dalam koefisien polinomial atau kurang dari jumlah tersebut dengan bilangan genap.
2.  Jumlah akar riil negatif dari suatu polinomial sama dengan jumlah perubahan tanda dalam koefisien polinomial f(-x) atau kurang dari jumlah tersebut dengan bilangan genap.

Mari kita analisis:

f(x) = x⁵ + 7x⁴ - 4x³ - 19x² + 17x - 2

Perubahan tanda pada f(x):
+x⁵ ke +7x⁴ (tidak ada perubahan)
+7x⁴ ke -4x³ (ada perubahan, 1)
-4x³ ke -19x² (tidak ada perubahan)
-19x² ke +17x (ada perubahan, 2)
+17x ke -2 (ada perubahan, 3)

Terdapat 3 perubahan tanda pada f(x). Jadi, banyaknya akar riil positif adalah 3 atau 3 - 2 = 1.

Sekarang, mari kita cari f(-x):
f(-x) = (-x)⁵ + 7(-x)⁴ - 4(-x)³ - 19(-x)² + 17(-x) - 2
f(-x) = -x⁵ + 7x⁴ + 4x³ - 19x² - 17x - 2

Perubahan tanda pada f(-x):
-x⁵ ke +7x⁴ (ada perubahan, 1)
+7x⁴ ke +4x³ (tidak ada perubahan)
+4x³ ke -19x² (ada perubahan, 2)
-19x² ke -17x (tidak ada perubahan)
-17x ke -2 (tidak ada perubahan)

Terdapat 2 perubahan tanda pada f(-x). Jadi, banyaknya akar riil negatif adalah 2 atau 2 - 2 = 0.

Kemungkinan jumlah akar riil:
*   Akar positif: 3, Akar negatif: 2 => Total akar riil = 5
*   Akar positif: 3, Akar negatif: 0 => Total akar riil = 3
*   Akar positif: 1, Akar negatif: 2 => Total akar riil = 3
*   Akar positif: 1, Akar negatif: 0 => Total akar riil = 1

Karena polinomial berderajat 5, jumlah akar riil dan akar imajiner adalah 5. Kita perlu memeriksa apakah ada akar riil tambahan atau kemungkinan akar nol (jika konstanta suku bebas adalah 0, yang mana tidak demikian).

Untuk memastikan, kita bisa mencoba mencari akar-akar rasional menggunakan Uji Akar Rasional (jika koefisiennya bilangan bulat). Akar rasional yang mungkin adalah faktor dari -2 dibagi faktor dari 1, yaitu ±1, ±2.

f(1) = 1 + 7 - 4 - 19 + 17 - 2 = 0. Jadi, x=1 adalah akar riil.

f(-1) = -1 + 7 + 4 - 19 - 17 - 2 = -38 ≠ 0.

f(2) = 32 + 7(16) - 4(8) - 19(4) + 17(2) - 2 = 32 + 112 - 32 - 76 + 34 - 2 = 68 ≠ 0.

f(-2) = -32 + 7(16) - 4(-8) - 19(4) + 17(-2) - 2 = -32 + 112 + 32 - 76 - 34 - 2 = 4 = 0.

Setelah menemukan akar x=1, kita bisa membagi polinomial dengan (x-1) untuk mendapatkan polinomial berderajat 4. 
(x⁵ + 7x⁴ - 4x³ - 19x² + 17x - 2) / (x - 1) = x⁴ + 8x³ + 4x² - 15x + 2

Sekarang kita periksa polinomial baru: g(x) = x⁴ + 8x³ + 4x² - 15x + 2
Perubahan tanda pada g(x):
+x⁴ ke +8x³ (tidak ada)
+8x³ ke +4x² (tidak ada)
+4x² ke -15x (ada, 1)
-15x ke +2 (ada, 2)

Terdapat 2 perubahan tanda pada g(x). Jadi, g(x) memiliki 2 atau 0 akar riil positif.

Sekarang kita cari g(-x):
g(-x) = (-x)⁴ + 8(-x)³ + 4(-x)² - 15(-x) + 2
g(-x) = x⁴ - 8x³ + 4x² + 15x + 2

Perubahan tanda pada g(-x):
+x⁴ ke -8x³ (ada, 1)
-8x³ ke +4x² (ada, 2)
+4x² ke +15x (tidak ada)
+15x ke +2 (tidak ada)

Terdapat 2 perubahan tanda pada g(-x). Jadi, g(x) memiliki 2 atau 0 akar riil negatif.

Karena f(x) sudah kita temukan memiliki akar x=1, maka dari g(x) kita mencari akar sisanya.

Mari kita coba evaluasi g(-x) dengan nilai yang mungkin.
Kita tahu ada akar riil negatif karena f(-x) memiliki perubahan tanda.

Kemungkinan akar riil dari g(x):
*   Akar positif: 2, Akar negatif: 2 => Total akar riil tambahan = 4. Total akar riil f(x) = 1 + 4 = 5.
*   Akar positif: 2, Akar negatif: 0 => Total akar riil tambahan = 2. Total akar riil f(x) = 1 + 2 = 3.
*   Akar positif: 0, Akar negatif: 2 => Total akar riil tambahan = 2. Total akar riil f(x) = 1 + 2 = 3.
*   Akar positif: 0, Akar negatif: 0 => Total akar riil tambahan = 0. Total akar riil f(x) = 1 + 0 = 1.

Mari kita coba cek nilai akar rasional pada g(x) = x⁴ + 8x³ + 4x² - 15x + 2. Akar rasional yang mungkin adalah ±1, ±2.

g(1) = 1 + 8 + 4 - 15 + 2 = 10 ≠ 0.

g(-1) = 1 - 8 + 4 + 15 + 2 = 14 ≠ 0.

g(2) = 16 + 8(8) + 4(4) - 15(2) + 2 = 16 + 64 + 16 - 30 + 2 = 68 ≠ 0.

g(-2) = 16 + 8(-8) + 4(4) - 15(-2) + 2 = 16 - 64 + 16 + 30 + 2 = 0. Jadi, x=-2 adalah akar riil.

Karena x=-2 adalah akar, kita bagi g(x) dengan (x+2):
(x⁴ + 8x³ + 4x² - 15x + 2) / (x + 2) = x³ + 6x² - 8x + 1

Sekarang kita periksa polinomial baru: h(x) = x³ + 6x² - 8x + 1
Perubahan tanda pada h(x):
+x³ ke +6x² (tidak ada)
+6x² ke -8x (ada, 1)
-8x ke +1 (ada, 2)

Terdapat 2 perubahan tanda pada h(x). Jadi, h(x) memiliki 2 atau 0 akar riil positif.

Sekarang kita cari h(-x):
h(-x) = (-x)³ + 6(-x)² - 8(-x) + 1
h(-x) = -x³ + 6x² + 8x + 1

Perubahan tanda pada h(-x):
-x³ ke +6x² (ada, 1)
+6x² ke +8x (tidak ada)
+8x ke +1 (tidak ada)

Terdapat 1 perubahan tanda pada h(-x). Jadi, h(x) memiliki 1 akar riil negatif.

Jadi, polinomial h(x) = x³ + 6x² - 8x + 1 memiliki:
*   2 akar riil positif atau 0 akar riil positif.
*   1 akar riil negatif.

Total akar riil untuk f(x) sejauh ini adalah 1 (dari x=1) + 1 (dari x=-2) + akar dari h(x).

Jika h(x) memiliki 2 akar positif dan 1 akar negatif, maka total akar riil f(x) = 1 + 1 + 2 + 1 = 5.
Jika h(x) memiliki 0 akar positif dan 1 akar negatif, maka total akar riil f(x) = 1 + 1 + 0 + 1 = 3.

Mari kita periksa akar rasional dari h(x) = x³ + 6x² - 8x + 1. Akar rasional yang mungkin adalah ±1.

h(1) = 1 + 6 - 8 + 1 = 0. Jadi, x=1 adalah akar riil.

Karena x=1 adalah akar lagi, kita bagi h(x) dengan (x-1):
(x³ + 6x² - 8x + 1) / (x - 1) = x² + 7x - 1

Sekarang kita periksa polinomial kuadrat: k(x) = x² + 7x - 1.
Kita gunakan rumus ABC untuk mencari akarnya: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
Di sini, a=1, b=7, c=-1.

x = [-7 ± √(7² - 4 * 1 * -1)] / (2 * 1)
x = [-7 ± √(49 + 4)] / 2
x = [-7 ± √53] / 2

Karena diskriminan (√53) adalah bilangan positif, maka ada dua akar riil untuk k(x).
Kedua akar ini adalah:
x₁ = (-7 + √53) / 2
x₂ = (-7 - √53) / 2

Kedua akar ini adalah akar riil. Mari kita tentukan apakah positif atau negatif.
√53 kira-kira antara √49 (yaitu 7) dan √64 (yaitu 8). Jadi, √53 ≈ 7.28.

x₁ ≈ (-7 + 7.28) / 2 = 0.28 / 2 = 0.14 (akar positif)
x₂ ≈ (-7 - 7.28) / 2 = -14.28 / 2 = -7.14 (akar negatif)

Jadi, dari polinomial k(x) = x² + 7x - 1, kita mendapatkan satu akar riil positif dan satu akar riil negatif.

Kembali ke polinomial h(x) = x³ + 6x² - 8x + 1:
Kita menemukan akar x=1 (positif).
Dari pembagian dengan (x-1), kita mendapatkan x² + 7x - 1, yang memiliki satu akar positif (≈0.14) dan satu akar negatif (≈-7.14).
Jadi, h(x) memiliki 2 akar positif dan 1 akar negatif.

Ringkasan akar-akar f(x) = x⁵ + 7x⁴ - 4x³ - 19x² + 17x - 2:
*   x = 1 (akar riil positif, muncul dua kali karena kita menemukan x=1 pada f(x) dan pada h(x))
*   x = -2 (akar riil negatif)
*   x ≈ 0.14 (akar riil positif)
*   x ≈ -7.14 (akar riil negatif)

Total akar riil positif: 1 (dari x=1) + 1 (dari x≈0.14) = 2.
Total akar riil negatif: 1 (dari x=-2) + 1 (dari x≈-7.14) = 2.

Mari kita periksa kembali perubahan tanda f(x) dan f(-x).

f(x) = x⁵ + 7x⁴ - 4x³ - 19x² + 17x - 2 (3 perubahan tanda -> 3 atau 1 akar positif)
f(-x) = -x⁵ + 7x⁴ + 4x³ - 19x² - 17x - 2 (2 perubahan tanda -> 2 atau 0 akar negatif)

Kita menemukan akar x=1 (dua kali) dan x≈0.14, yang merupakan akar positif. Jadi ada 3 akar positif.
Kita menemukan akar x=-2 dan x≈-7.14, yang merupakan akar negatif. Jadi ada 2 akar negatif.

Total akar riil = 3 (positif) + 2 (negatif) = 5.

Jadi, banyaknya akar riil dari persamaan f(x) =x⁵ + 7x⁴ -4x³ -19x² + 17X - 2 adalah 5.