Banyaknya bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan

7

Pembahasan

Kita perlu mencari banyaknya bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan x^2 + 48 < 16x.
Langkah pertama adalah mengatur ulang pertidaksamaan menjadi bentuk standar: x^2 - 16x + 48 < 0.
Selanjutnya, kita faktorkan persamaan kuadrat x^2 - 16x + 48 = 0.
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 48 dan jika dijumlahkan menghasilkan -16. Bilangan-bilangan tersebut adalah -4 dan -12.
Jadi, faktorisasi dari x^2 - 16x + 48 adalah (x - 4)(x - 12).
Pertidaksamaan menjadi (x - 4)(x - 12) < 0.
Untuk menentukan interval di mana pertidaksamaan ini benar, kita cari akar-akarnya, yaitu x = 4 dan x = 12.
Kita uji interval yang dibentuk oleh akar-akar ini:
1. Untuk x < 4 (misalnya x=0): (0-4)(0-12) = (-4)(-12) = 48 > 0.
2. Untuk 4 < x < 12 (misalnya x=6): (6-4)(6-12) = (2)(-6) = -12 < 0.
3. Untuk x > 12 (misalnya x=13): (13-4)(13-12) = (9)(1) = 9 > 0.
Pertidaksamaan (x - 4)(x - 12) < 0 terpenuhi ketika 4 < x < 12.
Bilangan bulat yang memenuhi kondisi 4 < x < 12 adalah 5, 6, 7, 8, 9, 10, dan 11.
Jumlah bilangan bulat tersebut adalah 7.