R Q O 20 P Perhatikan lingkaran di samping! Jika besar

a. 80 derajat, b. 40 derajat

Pembahasan

Diberikan sebuah lingkaran dengan titik-titik R, P, Q pada kelilingnya dan pusat O. Diketahui besar sudut RPQ = 20 derajat.
a. Menentukan besar sudut PQR:
Sudut RPQ dan sudut PRQ adalah sudut keliling yang menghadap busur RQ. Oleh karena itu, keduanya memiliki besar yang sama jika segitiga RPQ adalah segitiga sama kaki dengan RP = PQ. Namun, informasi ini tidak diberikan.
Kita perlu menggunakan sifat sudut keliling dan sudut pusat.
Sudut PQR adalah sudut keliling yang menghadap busur PR.
Untuk menentukan sudut PQR, kita perlu mengetahui besar sudut pusat yang menghadap busur PR, yaitu sudut POR, atau sudut keliling lain yang menghadap busur yang sama.
Jika kita mengasumsikan bahwa RQ adalah diameter, maka sudut RPQ akan menjadi 90 derajat, yang bertentangan dengan informasi yang diberikan (20 derajat). Jadi RQ bukan diameter.
Jika kita mengasumsikan PR adalah diameter, maka sudut PQR akan menjadi 90 derajat.
Jika kita mengasumsikan PQ adalah diameter, maka sudut PRQ akan menjadi 90 derajat.
Tanpa informasi tambahan mengenai hubungan antara titik-titik R, P, dan Q, atau panjang sisi-sisi segitiga, kita tidak dapat menentukan besar sudut PQR secara unik.
Namun, jika kita melihat diagram yang menyiratkan bahwa RQ adalah busur dan P adalah titik pada keliling, dan jika kita mengasumsikan bahwa O adalah pusat lingkaran, maka sudut RPQ adalah sudut keliling.
Mari kita perhatikan hubungan antara sudut keliling dan sudut pusat. Sudut pusat yang menghadap busur yang sama dengan sudut keliling adalah dua kali besar sudut keliling tersebut.
Sudut PQR menghadap busur PR.
Sudut QOR adalah sudut pusat yang menghadap busur QR.
Sudut RPQ = 20 derajat. Ini adalah sudut keliling.
Jika kita menganggap bahwa segitiga RPQ adalah segitiga sembarang di dalam lingkaran, kita memerlukan lebih banyak informasi.
Asumsi umum dalam soal geometri lingkaran seperti ini adalah bahwa ada informasi implisit dari gambar atau soal.
Jika kita menganggap bahwa PR adalah garis yang melalui pusat O (diameter), maka sudut PQR = 90 derajat. Namun, sudut RPQ = 20 derajat tidak memberikan informasi langsung tentang PQR.
Mari kita gunakan properti sudut dalam segitiga yang dibentuk oleh titik-titik pada lingkaran dan pusatnya.
Dalam segitiga ROQ, RO = QO (jari-jari), sehingga segitiga ROQ adalah sama kaki. Sudut ORQ = Sudut OQR.
Dalam segitiga ROP, RO = PO (jari-jari), sehingga segitiga ROP adalah sama kaki. Sudut ORP = Sudut OPR.
Dalam segitiga POQ, PO = QO (jari-jari), sehingga segitiga POQ adalah sama kaki. Sudut OPQ = Sudut OQP.
Kita tahu sudut RPQ = 20 derajat. Sudut RPQ adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang bertemu di titik P.
Sudut RPQ = sudut OPR + sudut OPQ = 20 derajat.
Kita tidak dapat memisahkan sudut OPR dan OPQ tanpa informasi lebih lanjut.
Mari kita pertimbangkan kemungkinan lain. Jika QR adalah diameter, maka sudut QPR = 90 derajat, yang bertentangan dengan soal. Jika PR adalah diameter, maka sudut PQR = 90 derajat.
Jika PQ adalah diameter, maka sudut PRQ = 90 derajat.
Misalkan kita mengasumsikan bahwa gambar tersebut mengisyaratkan bahwa R, O, dan Q berada pada satu garis lurus, sehingga RQ adalah diameter. Maka, sudut RPQ = 90 derajat, yang tidak sesuai dengan soal. Jadi, RQ bukan diameter.
Mari kita perhatikan kemungkinan bahwa PQ adalah tali busur dan R adalah titik pada lingkaran. Sudut RPQ = 20 derajat.
Jika kita menganggap PR adalah tali busur dan Q adalah titik pada lingkaran. Sudut RPQ = 20 derajat.
Jika kita menganggap PQ adalah tali busur dan R adalah titik pada lingkaran. Sudut RPQ = 20 derajat.
Kita perlu informasi tambahan atau asumsi yang kuat dari gambar.
Dalam banyak soal geometri lingkaran, jika sebuah sudut keliling diberikan, dan diminta sudut keliling atau sudut pusat lain, biasanya ada hubungan melalui busur yang sama.
Sudut RPQ = 20 derajat. Sudut ini menghadap busur RQ.
Sudut pusat yang menghadap busur RQ adalah sudut ROQ.
Maka, Sudut ROQ = 2 * Sudut RPQ = 2 * 20 derajat = 40 derajat. Ini jika RPQ adalah sudut keliling yang menghadap busur RQ.
Namun, dari penamaan sudut RPQ, ini adalah sudut yang dibentuk oleh garis PR dan PQ.
Mari kita perbaiki pemahaman tentang sudut RPQ. Sudut RPQ adalah sudut keliling yang dibentuk oleh tali busur PR dan PQ.
Sudut keliling RPQ = 20 derajat menghadap busur RQ.
Jadi, besar sudut pusat yang menghadap busur RQ, yaitu sudut ROQ, adalah 2 kali sudut keliling RPQ.
a. Besar sudut ROQ = 2 * Sudut RPQ = 2 * 20 derajat = 40 derajat.
Karena O adalah pusat lingkaran, maka RO = OQ (jari-jari), sehingga segitiga ROQ adalah segitiga sama kaki.
Dalam segitiga ROQ, jumlah sudut adalah 180 derajat. Maka, Sudut ORQ + Sudut OQR + Sudut ROQ = 180 derajat.
Karena segitiga ROQ sama kaki, Sudut ORQ = Sudut OQR.
2 * Sudut OQR + 40 derajat = 180 derajat.
2 * Sudut OQR = 180 derajat - 40 derajat = 140 derajat.
Sudut OQR = 140 derajat / 2 = 70 derajat.
Sekarang kita perlu menentukan besar sudut PQR. Sudut PQR adalah sudut yang dibentuk oleh tali busur PQ dan QR.
Sudut PQR = Sudut PQO + Sudut OQR.
Kita perlu mencari sudut PQO.
Dalam segitiga POQ, PO = QO (jari-jari), sehingga segitiga POQ adalah sama kaki. Sudut OPQ = Sudut OQP.
Kita tahu Sudut RPQ = Sudut RPO + Sudut OPQ = 20 derajat.
Kita tidak tahu Sudut RPO.
Mari kita pertimbangkan jika PQR adalah sudut keliling yang menghadap busur PR. Maka, besar sudut PQR = 1/2 * besar sudut pusat POR.
Kita belum tahu sudut POR.
Mari kita gunakan informasi sudut RPQ = 20 derajat.
Dalam segitiga POQ, PO=QO, maka sudut OPQ = sudut OQP.
Dalam segitiga ROQ, RO=QO, maka sudut ORQ = sudut OQR.
Dalam segitiga ROP, RO=PO, maka sudut ORP = sudut OPR.
Kita tahu sudut RPQ = sudut RPO + sudut OPQ = 20 derajat.
Mari kita coba cari sudut PQR jika ada asumsi tambahan dari gambar. Jika PQR adalah sudut keliling yang menghadap busur PR, maka kita perlu sudut pusat POR.
Kembali ke segitiga ROQ. Kita dapatkan sudut ROQ = 40 derajat dan sudut OQR = 70 derajat.
Sekarang kita pertimbangkan segitiga POQ. PO=QO, maka sudut OPQ = sudut OQP. Misalkan sudut OPQ = x, maka sudut OQP = x.
Sudut RPQ = sudut RPO + sudut OPQ = 20 derajat.
Karena segitiga ROP sama kaki (RO=PO), maka sudut ORP = sudut OPR.
Misalkan sudut OPR = y, maka sudut ORP = y.
Maka, y + x = 20 derajat.
Sudut PQR = sudut PQO + sudut OQR = x + 70 derajat.
Kita tidak bisa menentukan x atau y secara terpisah.
Ada kemungkinan soal ini memiliki informasi yang hilang atau gambar yang sangat spesifik yang tidak bisa saya interpretasikan.
Namun, jika kita mengasumsikan bahwa QR adalah busur, dan P adalah titik pada lingkaran, dan O adalah pusat, maka sudut RPQ adalah sudut keliling 20 derajat. Sudut pusat yang menghadap busur yang sama adalah sudut ROQ. Maka sudut ROQ = 2 * 20 = 40 derajat. Ini sudah dihitung.
Sekarang, mari kita lihat sudut PQR. Sudut PQR adalah sudut keliling yang menghadap busur PR.
Untuk mencari sudut PQR, kita perlu sudut pusat POR.
Mari kita perhatikan kembali segitiga RPQ. Jumlah sudut dalam segitiga RPQ adalah 180 derajat. Sudut RPQ + Sudut PQR + Sudut PRQ = 180 derajat.
20 derajat + Sudut PQR + Sudut PRQ = 180 derajat.
Sudut PQR + Sudut PRQ = 160 derajat.
Kita tahu Sudut PRQ = Sudut PRO + Sudut ORQ.
Kita tahu Sudut OQR = 70 derajat.
Kita tahu Sudut PQR = Sudut PQO + Sudut OQR = Sudut PQO + 70 derajat.
Substitusikan ke persamaan jumlah sudut:
(Sudut PQO + 70) + (Sudut PRO + 70) = 160.
Sudut PQO + Sudut PRO + 140 = 160.
Sudut PQO + Sudut PRO = 20 derajat.
Kita tahu dari segitiga sama kaki:
Segitiga POQ: Sudut OPQ = Sudut OQP (misal = x)
Segitiga ROP: Sudut OPR = Sudut ORP (misal = y)
Segitiga ROQ: Sudut ORQ = Sudut OQR (sudah dihitung = 70)
Sudut RPQ = Sudut RPO + Sudut OPQ = y + x = 20 derajat.
Sudut PQR = Sudut PQO + Sudut OQR = x + 70 derajat.
Sudut PRQ = Sudut PRO + Sudut ORQ = y + 70 derajat.
Perhatikan bahwa Sudut PQR + Sudut PRQ = (x + 70) + (y + 70) = x + y + 140.
Karena x + y = 20, maka Sudut PQR + Sudut PRQ = 20 + 140 = 160 derajat.
Ini konsisten dengan jumlah sudut dalam segitiga RPQ.
Sekarang kita perlu mencari nilai x dan y.
Kita tidak memiliki informasi yang cukup untuk memisahkan x dan y.
Jika ada asumsi bahwa PQ = PR, maka segitiga RPQ sama kaki, sehingga sudut PQR = sudut PRQ. Maka 2 * Sudut PQR = 160, sehingga Sudut PQR = 80 derajat.
Jika sudut PQR = 80 derajat, maka x + 70 = 80, sehingga x = 10 derajat.
Jika x = 10 derajat, maka y = 20 - 10 = 10 derajat.
Jika x = 10 dan y = 10, maka semua segitiga sama kaki tersebut memiliki sudut dasar 10 derajat.
Segitiga POQ: sudut OPQ = sudut OQP = 10. Sudut POQ = 180 - 10 - 10 = 160.
Segitiga ROP: sudut OPR = sudut ORP = 10. Sudut POR = 180 - 10 - 10 = 160.
Segitiga ROQ: sudut ORQ = sudut OQR = 70. Sudut ROQ = 180 - 70 - 70 = 40. (Ini konsisten dengan perhitungan awal).
Jika Sudut POQ = 160 dan Sudut POR = 160 dan Sudut ROQ = 40, maka jumlah sudut pusat di O harus 360 derajat jika P, Q, R mengelilingi O. 160 + 160 + 40 = 360. Ini konsisten.
Jadi, dengan asumsi bahwa segitiga RPQ adalah sama kaki dengan RP=PQ, atau bahwa sudut OPR = sudut OPQ, maka:
a. Sudut PQR = 80 derajat.
b. Sudut QOR = 40 derajat (sudah dihitung sebelumnya sebagai sudut pusat yang menghadap busur RQ yang sama dengan sudut keliling RPQ).

Mari kita pastikan lagi asumsi ini. Soal ini sepertinya dirancang agar ada solusi yang jelas tanpa asumsi tambahan yang tidak dinyatakan.

Kembali ke fakta: Sudut RPQ = 20 derajat. Ini adalah sudut keliling yang menghadap busur RQ.
Sudut Pusat ROQ = 2 * Sudut RPQ = 2 * 20 = 40 derajat.
Ini adalah jawaban untuk bagian b.

b. Besar sudut QOR = 40 derajat.

Sekarang untuk bagian a, besar sudut PQR.
Sudut PQR adalah sudut keliling yang menghadap busur PR.
Besar sudut PQR = 1/2 * besar sudut pusat POR.
Kita perlu mencari sudut pusat POR.
Kita tahu sudut RPQ = 20.
Dalam segitiga POQ, PO = QO (jari-jari), sehingga sudut OPQ = sudut OQP.
Dalam segitiga ROP, RO = PO (jari-jari), sehingga sudut OPR = sudut ORP.
Dalam segitiga ROQ, RO = QO (jari-jari), sehingga sudut ORQ = sudut OQR = 70 derajat.
Kita punya Sudut RPQ = Sudut RPO + Sudut OPQ = 20.
Kita juga punya Sudut PQR = Sudut PQO + Sudut OQR = Sudut PQO + 70.
Kita juga punya Sudut PRQ = Sudut PRO + Sudut ORQ = Sudut PRO + 70.
Dengan menggunakan sifat segitiga sama kaki:
Segitiga POQ: sudut POQ = 180 - 2*sudut OPQ
Segitiga ROP: sudut POR = 180 - 2*sudut OPR
Segitiga ROQ: sudut ROQ = 180 - 2*sudut ORQ = 180 - 2*70 = 40.
Ini cocok.
Perhatikan bahwa jumlah sudut pusat di sekitar O adalah 360 derajat:
Sudut POQ + Sudut POR + Sudut ROQ = 360.
(180 - 2*sudut OPQ) + (180 - 2*sudut OPR) + 40 = 360.
360 - 2*(sudut OPQ + sudut OPR) + 40 = 360.
-2*(sudut OPQ + sudut OPR) + 40 = 0.
2*(sudut OPQ + sudut OPR) = 40.
sudut OPQ + sudut OPR = 20.
Ini adalah Sudut RPQ = 20, yang sudah diberikan. Jadi, informasi ini tidak membantu memisahkan sudut OPQ dan OPR.

Ini menunjukkan bahwa soal ini mungkin memiliki ambiguitas atau saya melewatkan properti penting.

Coba asumsi lain:
Jika PR adalah diameter, maka sudut PQR = 90. Sudut RPQ = 20. Maka sudut PRQ = 180 - 90 - 20 = 70. Jika sudut PRQ = 70, dan kita tahu sudut ORQ = 70, ini berarti P terletak pada garis RO. Ini tidak mungkin karena P adalah titik pada keliling.

Kembali ke dasar:
Sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama.
Sudut RPQ = 20 derajat, menghadap busur RQ.
Sudut pusat ROQ = 2 * 20 = 40 derajat.
Untuk mencari Sudut PQR, kita perlu sudut keliling yang menghadap busur PR.

Mari kita periksa ulang soal #3. Mungkin ada kesalahan penafsiran gambar atau informasi.

Jika gambar mengimplikasikan bahwa garis RQ melewati pusat O, maka RQ adalah diameter. Maka sudut RPQ = 90 derajat, yang bertentangan dengan soal.

Mari kita gunakan properti sudut keliling dan pusat lagi.
Sudut RPQ = 20 derajat (sudut keliling menghadap busur RQ).
Sudut Pusat ROQ = 2 * 20 = 40 derajat.
Ini adalah jawaban b.

a. Sudut PQR = ?
Sudut PQR adalah sudut keliling yang menghadap busur PR.
Besar sudut PQR = 1/2 * sudut pusat POR.
Kita perlu mencari sudut POR.
Dalam segitiga sama kaki POQ, sudut OPQ = sudut OQP.
Dalam segitiga sama kaki ROP, sudut OPR = sudut ORP.
Dalam segitiga sama kaki ROQ, sudut ORQ = sudut OQR = (180-40)/2 = 70 derajat.
Sudut RPQ = sudut OPR + sudut OPQ = 20 derajat.
Sudut PQR = sudut OQP + sudut OQR = sudut OQP + 70 derajat.
Sudut PRQ = sudut ORP + sudut ORQ = sudut ORP + 70 derajat.

Kita tahu bahwa jumlah sudut dalam segitiga RPQ adalah 180:
20 + (sudut OQP + 70) + (sudut ORP + 70) = 180
20 + sudut OQP + sudut ORP + 140 = 180
sudut OQP + sudut ORP = 20.

Kita juga punya:
sudut OPR + sudut OPQ = 20.
Karena segitiga ROP sama kaki, sudut OPR = sudut ORP. Jadi sudut ORP = sudut OPR.
Karena segitiga POQ sama kaki, sudut OPQ = sudut OQP.
Maka, persamaan menjadi:
sudut OPR + sudut OPQ = 20.
sudut OPQ + sudut OPR = 20.
Ini adalah persamaan yang sama.

Ada kemungkinan bahwa soal ini mengasumsikan bahwa segitiga RPQ adalah segitiga sama kaki, sehingga RP = PQ. Jika demikian, maka sudut PQR = sudut PRQ.
Jika sudut PQR = sudut PRQ, maka:
sudut OQP + 70 = sudut ORP + 70.
sudut OQP = sudut ORP.
Karena sudut OQP = sudut OPQ dan sudut ORP = sudut OPR, maka sudut OPQ = sudut OPR.
Jika sudut OPQ = sudut OPR, dan jumlahnya adalah 20, maka masing-masing adalah 10 derajat.
Jika sudut OPQ = 10, maka sudut OQP = 10.
Jika sudut OPR = 10, maka sudut ORP = 10.

Maka, sudut PQR = sudut OQP + sudut OQR = 10 + 70 = 80 derajat.
Sudut PRQ = sudut ORP + sudut ORQ = 10 + 70 = 80 derajat.
Jumlah sudut dalam segitiga RPQ = 20 + 80 + 80 = 180 derajat. Ini konsisten.

Jadi, dengan asumsi bahwa segitiga RPQ adalah sama kaki (RP=PQ) atau OP=OR=OQ adalah jari-jari dan ada simetri yang membuat OPR=OPQ:
a. Besar sudut PQR = 80 derajat.
b. Besar sudut QOR = 40 derajat.