Banyaknya bilangan yang habis dibagi 2, yang lebih dari 550

63

Pembahasan

Kita perlu mencari banyaknya bilangan yang habis dibagi 2, lebih dari 550, dan terdiri dari 3 angka yang disusun dari bilangan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Bilangan tersebut harus 3 angka, lebih dari 550, dan habis dibagi 2.

Kondisi habis dibagi 2 berarti angka terakhir (satuan) harus genap. Dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, angka genapnya adalah {2, 4, 6}.

Bilangan tersebut lebih dari 550. Ini berarti:

Kasus 1: Angka ratusan adalah 5.
Jika angka ratusan adalah 5, maka angka puluhan bisa {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan angka satuan harus genap {2, 4, 6}.
Namun, bilangan harus lebih dari 550. Jadi, jika ratusan adalah 5:
  - Jika puluhan < 5, maka satuan bisa {2, 4, 6}. (Contoh: 512, 514, 516, 522, 524, 526, 532, 534, 536, 542, 544, 546) 
    Ada 4 pilihan puluhan (1, 2, 3, 4) dan 3 pilihan satuan. Total = 4 * 3 = 12.
  - Jika puluhan = 5, maka satuan harus > 0. Satuan bisa {2, 4, 6}. (Contoh: 552, 554, 556)
    Ada 1 pilihan puluhan (5) dan 3 pilihan satuan. Total = 1 * 3 = 3.
  - Jika puluhan > 5, maka satuan bisa {2, 4, 6}. (Contoh: 562, 564, 566, 572, 574, 576)
    Ada 2 pilihan puluhan (6, 7) dan 3 pilihan satuan. Total = 2 * 3 = 6.
Jadi, jika ratusan adalah 5, total bilangan adalah 12 + 3 + 6 = 21.

Kasus 2: Angka ratusan adalah 6.
Jika angka ratusan adalah 6, maka angka puluhan bisa {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan angka satuan harus genap {2, 4, 6}. Semua bilangan yang dimulai dengan 6 akan lebih dari 550.
  - Ada 7 pilihan puluhan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
  - Ada 3 pilihan satuan {2, 4, 6}.
  - Total = 7 * 3 = 21.

Kasus 3: Angka ratusan adalah 7.
Jika angka ratusan adalah 7, maka angka puluhan bisa {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan angka satuan harus genap {2, 4, 6}. Semua bilangan yang dimulai dengan 7 akan lebih dari 550.
  - Ada 7 pilihan puluhan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
  - Ada 3 pilihan satuan {2, 4, 6}.
  - Total = 7 * 3 = 21.

Total keseluruhan bilangan = 21 (ratusan 5) + 21 (ratusan 6) + 21 (ratusan 7) = 63.

Namun, ada syarat bahwa angka-angka tersebut "disusun dari bilangan 1,2,3,4,5,6, dan 7". Ini bisa berarti angka-angkanya boleh berulang atau tidak boleh berulang. Jika tidak disebutkan, biasanya diasumsikan boleh berulang.

Mari kita periksa kembali soalnya, jika angka tidak boleh berulang:

Angka ratusan bisa {5, 6, 7}.

Jika Ratusan = 5:
  Puluhan bisa {1, 2, 3, 4, 6, 7}. Angka 5 sudah dipakai.
  *   Jika puluhan < 5 (yaitu {1, 2, 3, 4}):
      Angka yang tersedia untuk satuan adalah {2, 4, 6} (genap) dikurangi angka puluhan.
      - Jika puluhan = 1, satuan bisa {2, 4, 6} (3 pilihan).
      - Jika puluhan = 2, satuan bisa {4, 6} (2 pilihan).
      - Jika puluhan = 3, satuan bisa {2, 4, 6} (3 pilihan).
      - Jika puluhan = 4, satuan bisa {2, 6} (2 pilihan).
      Total untuk puluhan < 5: 3 + 2 + 3 + 2 = 10.
  *   Jika puluhan = 6:
      Satuan bisa {2, 4} (2 pilihan).
  *   Jika puluhan = 7:
      Satuan bisa {2, 4, 6} (3 pilihan).
  Total jika ratusan = 5: 10 + 2 + 3 = 15.

Jika Ratusan = 6:
  Puluhan bisa {1, 2, 3, 4, 5, 7}. Angka 6 sudah dipakai.
  Satuan harus genap dari sisa {1, 2, 3, 4, 5, 7} dan tidak sama dengan puluhan.
  Satuan yang tersedia adalah {2, 4}.
  - Jika puluhan adalah ganjil ({1, 3, 5, 7} - 4 pilihan), maka satuan bisa {2, 4} (2 pilihan). Total = 4 * 2 = 8.
  - Jika puluhan adalah genap ({2, 4} - 2 pilihan), maka satuan hanya bisa {sisa genap} (1 pilihan).
    - Jika puluhan = 2, satuan hanya {4} (1 pilihan).
    - Jika puluhan = 4, satuan hanya {2} (1 pilihan).
    Total = 2 * 1 = 2.
  Total jika ratusan = 6: 8 + 2 = 10.

Jika Ratusan = 7:
  Puluhan bisa {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Angka 7 sudah dipakai.
  Satuan harus genap dari sisa {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan tidak sama dengan puluhan.
  Satuan yang tersedia adalah {2, 4, 6}.
  - Jika puluhan adalah ganjil ({1, 3, 5} - 3 pilihan), maka satuan bisa {2, 4, 6} (3 pilihan). Total = 3 * 3 = 9.
  - Jika puluhan adalah genap ({2, 4, 6} - 3 pilihan), maka satuan bisa {sisa genap} (2 pilihan).
    - Jika puluhan = 2, satuan bisa {4, 6} (2 pilihan).
    - Jika puluhan = 4, satuan bisa {2, 6} (2 pilihan).
    - Jika puluhan = 6, satuan bisa {2, 4} (2 pilihan).
    Total = 3 * 2 = 6.
  Total jika ratusan = 7: 9 + 6 = 15.

Total jika tidak berulang = 15 (ratusan 5) + 10 (ratusan 6) + 15 (ratusan 7) = 40.

Asumsi umum dalam soal seperti ini adalah angka boleh berulang jika tidak dinyatakan lain.

Mari kita gunakan asumsi angka boleh berulang:

Bilangan 3 angka, lebih dari 550, habis dibagi 2, dari {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Angka satuan (terakhir) harus genap: {2, 4, 6} (3 pilihan).

Angka ratusan:
- Jika ratusan = 5:
  - Puluhan bisa {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (7 pilihan).
  - Satuan harus genap {2, 4, 6} (3 pilihan).
  - Jika puluhan < 5 (1, 2, 3, 4), semua bilangan > 550. Ada 4 * 3 = 12.
  - Jika puluhan = 5, satuan harus > 0. Satuan bisa {2, 4, 6}. Ada 1 * 3 = 3.
  - Jika puluhan > 5 (6, 7), semua bilangan > 550. Ada 2 * 3 = 6.
  Total untuk ratusan 5: 12 + 3 + 6 = 21.

- Jika ratusan = 6:
  - Puluhan bisa {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (7 pilihan).
  - Satuan harus genap {2, 4, 6} (3 pilihan).
  - Total = 7 * 3 = 21.

- Jika ratusan = 7:
  - Puluhan bisa {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (7 pilihan).
  - Satuan harus genap {2, 4, 6} (3 pilihan).
  - Total = 7 * 3 = 21.

Total = 21 + 21 + 21 = 63.

Revisi untuk angka ratusan 5, puluhan 5:
Bilangan 55x. Nilai x harus genap {2, 4, 6}. Semua 552, 554, 556 lebih besar dari 550. Jadi 3 bilangan.

Jika ratusan = 5:
- Puluhan 1, 2, 3, 4:  Ada 4 pilihan puluhan. Untuk setiap pilihan puluhan, ada 3 pilihan satuan {2, 4, 6}. Total = 4 * 3 = 12.
- Puluhan 5: Bilangan 55x. x bisa {2, 4, 6}. 3 pilihan.
- Puluhan 6, 7: Ada 2 pilihan puluhan. Untuk setiap pilihan puluhan, ada 3 pilihan satuan {2, 4, 6}. Total = 2 * 3 = 6.
Total jika ratusan = 5 adalah 12 + 3 + 6 = 21.

Jika ratusan = 6:
Ada 7 pilihan puluhan dan 3 pilihan satuan. Total = 7 * 3 = 21.

Jika ratusan = 7:
Ada 7 pilihan puluhan dan 3 pilihan satuan. Total = 7 * 3 = 21.

Total = 21 + 21 + 21 = 63.

Jawaban yang paling mungkin berdasarkan interpretasi standar soal permutasi/kombinasi adalah 63.