Diketahui x^4+ax^3+(b-10)x^2+5x-6 = f(x)(x-1) dengan f(x)

19

Pembahasan

Diketahui bahwa f(x) = x^4 + ax^3 + (b-10)x^2 + 5x - 6 dan f(x) habis dibagi oleh (x-1) oleh karena itu (x-1) adalah faktor dari f(x).
Karena f(x) habis dibagi oleh (x-1), maka berdasarkan teorema sisa, f(1) harus sama dengan 0.
Substitusikan x=1 ke dalam persamaan f(x):
f(1) = (1)^4 + a(1)^3 + (b-10)(1)^2 + 5(1) - 6 = 0
1 + a + (b-10) + 5 - 6 = 0
1 + a + b - 10 + 5 - 6 = 0
a + b - 10 = 0
a + b = 10

Selanjutnya, diketahui bahwa f(x) = g(x)(x-1) dengan f(x) habis dibagi (x-1). Ini berarti bahwa hasil bagi f(x) dengan (x-1) adalah g(x), dan (x-1) adalah faktor dari f(x).

Kita juga diberikan bahwa f(x) habis dibagi oleh (x-1) dua kali (karena f(x) = g(x)(x-1) dan g(x) juga habis dibagi oleh (x-1)). Ini berarti bahwa x=1 adalah akar ganda dari f(x).
Jika x=1 adalah akar ganda, maka turunan pertama dari f(x) juga harus bernilai 0 ketika x=1.

Cari turunan pertama dari f(x):
f'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2(b-10)x + 5

Substitusikan x=1 ke dalam f'(x):
f'(1) = 4(1)^3 + 3a(1)^2 + 2(b-10)(1) + 5 = 0
4 + 3a + 2(b-10) + 5 = 0
4 + 3a + 2b - 20 + 5 = 0
3a + 2b - 11 = 0
3a + 2b = 11

Sekarang kita punya sistem dua persamaan linear dengan dua variabel:
1) a + b = 10
2) 3a + 2b = 11

Dari persamaan (1), kita dapat menyatakan a = 10 - b.
Substitusikan ke persamaan (2):
3(10 - b) + 2b = 11
30 - 3b + 2b = 11
30 - b = 11
b = 30 - 11
b = 19

Jadi, nilai b adalah 19.