Banyaknya permutasi yang disusun tiga-tiga dari kata 'MAAF'

12

Pembahasan

Permutasi adalah banyaknya cara menyusun sebagian atau seluruh objek dari suatu kumpulan objek tanpa memperhatikan urutannya. Dalam kasus ini, kita ingin menyusun tiga huruf dari kata 'MAAF'. 

Kata 'MAAF' memiliki 4 huruf, yaitu M, A, A, F. Perlu diperhatikan bahwa huruf 'A' muncul dua kali. 

Untuk menghitung permutasi dengan objek yang berulang, kita perlu mempertimbangkan huruf-huruf yang berbeda terlebih dahulu. Huruf-huruf uniknya adalah M, A, F. 

Namun, soal meminta permutasi yang disusun tiga-tiga dari kata 'MAAF'. Ini berarti kita memilih 3 huruf dari 4 huruf yang tersedia dan mengurutkannya. 

Kita perlu mempertimbangkan kasus-kasus yang mungkin terjadi karena adanya huruf 'A' yang berulang:

Kasus 1: Ketiga huruf yang dipilih berbeda. 
   Huruf unik yang tersedia adalah M, A, F. Kita perlu memilih 2 huruf lagi dari {M, A, F} untuk melengkapi 3 huruf yang berbeda. 
   Ini tidak dapat terjadi karena kita hanya punya 3 huruf unik. 

Mari kita gunakan pendekatan yang lebih umum untuk permutasi. Kita ingin menyusun 3 huruf dari 4 huruf (M, A1, A2, F). 

Jumlah permutasi dari n objek yang diambil r objek adalah P(n, r) = n! / (n-r)!. Namun, ini berlaku jika semua objek berbeda. 

Karena ada huruf 'A' yang sama, kita perlu berhati-hati. 

Alternatif lain adalah mendaftar semua kemungkinan susunan 3 huruf dari MAAF:

*   Jika kita ambil M, A, A: MAA, AMA, AAM (3 permutasi)
*   Jika kita ambil M, A, F: MAF, MFA, AMF, AFM, FAM, FMA (6 permutasi)
*   Jika kita ambil A, A, F: AAF, AFA, FAA (3 permutasi)

Total permutasi = 3 + 6 + 3 = 12.

Secara formal, jika kita memiliki n objek dengan k1 objek identik, k2 objek identik, ..., km objek identik, maka jumlah permutasi dari n objek adalah n! / (k1! k2! ... km!). 

Namun, soal ini meminta permutasi yang *disusun tiga-tiga*. Ini berarti kita memilih 3 objek dari 4 objek dan mengurutkannya. 

Cara yang benar adalah menghitung permutasi dengan mempertimbangkan huruf yang sama. Kita akan memilih 3 huruf dari {M, A, A, F}. 

Kemungkinan kombinasi 3 huruf: 
1.  M, A, A: Permutasinya adalah 3! / 2! = 3. (MAA, AMA, AAM) 
2.  M, A, F: Permutasinya adalah 3! / 1! = 6. (MAF, MFA, AMF, AFM, FAM, FMA) 
3.  A, A, F: Permutasinya adalah 3! / 2! = 3. (AAF, AFA, FAA) 

Total permutasi yang disusun tiga-tiga = 3 + 6 + 3 = 12.