Belah ketupat ABCD.DE dan DF adalah garis tinggi. a.

a. $\triangle DAE \cong \triangle DCF$ (AAS). b. $BE=BF$ karena $AB=BC$ dan $AE=CF$.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa segitiga DAE kongruen dengan segitiga DCF dan panjang BE sama dengan BF pada belah ketupat ABCD dengan DE dan DF sebagai garis tinggi:

**a. Bukti segitiga DAE kongruen segitiga DCF:**

Dalam belah ketupat ABCD:
1.  Sisi-sisi berhadapan sejajar dan sama panjang: $AD = BC$ dan $AB = CD$.
2.  Semua sisi sama panjang: $AB = BC = CD = DA$.
3.  Sudut-sudut berhadapan sama besar: $\angle DAB = \angle BCD$ dan $\angle ABC = \angle ADC$.
4.  Diagonal-diagonal saling tegak lurus dan membagi dua sama panjang.
5.  Diagonal-diagonal membagi sudut menjadi dua sama besar.

Diketahui DE adalah garis tinggi dari D ke AB (atau perpanjangannya), sehingga $\angle DEA = 90^\circ$. 
Diketahui DF adalah garis tinggi dari D ke BC (atau perpanjangannya), sehingga $\angle DFC = 90^\circ$. 

Perhatikan segitiga DAE dan segitiga DCF:
*   Sudut $\angle DEA = \angle DFC = 90^\circ$ (karena DE dan DF adalah garis tinggi).
*   Sisi DA = Sisi DC (karena ABCD adalah belah ketupat, semua sisinya sama panjang).
*   Sudut $\angle DAE = \angle DCF$ (karena $\angle DAB = \angle BCD$ adalah sifat belah ketupat, dan DE tegak lurus AB, DF tegak lurus BC, maka $\angle DAE$ merujuk pada $\angle DAB$ dan $\angle DCF$ merujuk pada $\angle BCD$).

Dengan menggunakan kriteria kekongruenan Sudut-Sisi-Sudut (SSA) pada sudut yang bukan diapit oleh sisi yang diketahui, atau lebih tepatnya, menggunakan kriteria "Sudut-Sudut-Sisi (AAS)" jika kita melihat $\angle DAE$ dan $\angle DCF$ sebagai sudut yang diketahui, dan $DA = DC$ sebagai sisi yang diketahui, serta $\angle DEA = \angle DFC = 90^\circ$ sebagai sudut yang diketahui.

Atau, kita bisa menggunakan kriteria "Sudut-Sisi-Sudut (ASA)" jika kita membandingkan $\triangle DAE$ dengan $\triangle DCF$ dengan sudut di $A$ dan $C$ serta sisi $AD$ dan $CD$ serta sudut $E$ dan $F$. Namun, sudut $ADE$ dan $CDF$ belum tentu sama.

Cara yang lebih tepat adalah menggunakan kriteria "Sudut-Sisi-Sudut (ASA)" jika kita mempertimbangkan sudut di A dan sudut di E, serta sisi AE, atau sudut di C dan sudut di F, serta sisi CF. Ini tidak langsung berlaku.

Mari kita gunakan kriteria "Sudut-Sisi-Sudut" dengan sudut $\angle DAE$ (atau $\angle DAB$), sisi $AD$, dan sudut $\angle ADE$ tidak sama dengan $\angle CDF$. 

Tetapi, jika kita menggunakan kriteria "Sudut-Sisi-Sudut (ASA)" atau "Sudut-Sudut-Sisi (AAS)", kita perlu hati-hati.

Cara yang paling umum dan benar adalah:
1.  $\angle DEA = \angle DFC = 90^\circ$ (Diketahui DE, DF garis tinggi).
2.  $DA = DC$ (Sisi belah ketupat).
3.  $\angle DAE = \angle DCF$ (Sudut berhadapan pada belah ketupat sama besar).

Dengan menggunakan kriteria kekongruenan **Sudut-Sudut-Sisi (AAS)**, karena kita punya dua sudut dan satu sisi yang tidak diapit oleh kedua sudut tersebut (yaitu sisi DA = DC).
Jadi, $\triangle DAE \cong \triangle DCF$ (AAS).

**b. Buktikan panjang BE = BF:**

Karena $\triangle DAE \cong \triangle DCF$, maka sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
Ini berarti:
*   $DE = DF$ (garis tinggi yang bersesuaian)
*   $AE = CF$ (sisi-sisi yang bersesuaian)
*   Sudut $\angle ADE = \angle CDF$ (sudut-sudut yang bersesuaian)

Sekarang, kita perlu membuktikan $BE = BF$. Perhatikan belah ketupat ABCD:

Karena DE adalah garis tinggi ke AB, $\triangle ADE$ adalah segitiga siku-siku. AB adalah sisi belah ketupat.
Karena DF adalah garis tinggi ke BC, $\triangle DCF$ adalah segitiga siku-siku. BC adalah sisi belah ketupat.

Kita tahu $AB = BC$ (sisi belah ketupat).
Kita sudah membuktikan $AE = CF$ (dari kekongruenan $\triangle DAE$ dan $\triangle DCF$).

Sekarang, perhatikan sisi $AB$ dan $BC$. Titik E terletak pada AB (atau perpanjangannya) dan titik F terletak pada BC (atau perpanjangannya).

Dalam segitiga siku-siku DAE, kita punya $AD^2 = AE^2 + DE^2$. Karena $AD = AB$, maka $AB^2 = AE^2 + DE^2$. 
Dalam segitiga siku-siku DCF, kita punya $DC^2 = DF^2 + CF^2$. Karena $DC = BC$, maka $BC^2 = DF^2 + CF^2$.

Karena $DE = DF$ dan $AE = CF$, maka $AB^2 = AE^2 + DE^2 = CF^2 + DF^2 = BC^2$. Ini konsisten dengan $AB = BC$.

Kita perlu membuktikan $BE = BF$. 
$BE = AB - AE$ (jika E terletak di antara A dan B).
$BF = BC - CF$ (jika F terletak di antara B dan C).

Karena $AB = BC$ dan $AE = CF$, maka:
$BE = AB - AE$
$BF = AB - AE$

Oleh karena itu, $BE = BF$.

**Kesimpulan:**
a. Segitiga DAE kongruen dengan segitiga DCF berdasarkan kriteria AAS (Sudut-Sudut-Sisi).
b. Panjang BE sama dengan panjang BF karena $AB = BC$ dan $AE = CF$ (sisi-sisi yang bersesuaian dari segitiga yang kongruen).