Jika kurva y=e^(akar(x)) dicerminkan terhadap garis y=x

y = 1 + ln^2(x+1)

Pembahasan

Langkah-langkah untuk menentukan kurva yang dihasilkan:

1.  **Refleksi terhadap garis y=x:** Jika sebuah kurva $y = f(x)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$, maka persamaan kurva bayangannya adalah $x = f(y)$. Ini berarti kita menukar variabel $x$ dan $y$, lalu menyelesaikan persamaan untuk $y$ jika memungkinkan.
    Kurva awal: $y = e^{\sqrt{x}}$
    Setelah refleksi terhadap $y=x$, tukar $x$ dan $y$: $x = e^{\sqrt{y}}$
    Untuk menyelesaikan $y$, kita lakukan langkah-langkah berikut:
    Ambil logaritma natural (ln) dari kedua sisi:
    $ln(x) = ln(e^{\sqrt{y}})$
    $ln(x) = \sqrt{y}$
    Kuadratkan kedua sisi:
    $(ln(x))^2 = y$
    Jadi, persamaan kurva setelah refleksi adalah $y = (ln(x))^2$ atau $y = ln^2(x)$.
    Perhatikan bahwa domain untuk $x$ di sini adalah $x > 0$ karena $ln(x)$ terdefinisi untuk $x > 0$, dan domain untuk $y$ adalah semua bilangan real positif karena $e^{\sqrt{y}}$ selalu positif.

2.  **Translasi dengan vektor [-1, 1]:** Translasi vektor $[-1, 1]$ berarti menggeser kurva 1 satuan ke kiri (mengganti $x$ dengan $x+1$) dan 1 satuan ke atas (menambah 1 pada persamaan $y$).
    Ambil persamaan hasil refleksi: $y = ln^2(x)$
    Terapkan translasi: Ganti $x$ dengan $(x+1)$ dan tambahkan 1 pada $y$.
    Persamaan baru: $y - 1 = ln^2(x+1)$
    $y = 1 + ln^2(x+1)$

    Domain baru untuk $x$: Agar $ln(x+1)$ terdefinisi, maka $x+1 > 0$, sehingga $x > -1$.
    Range baru untuk $y$: $ln^2(x+1) \ge 0$, sehingga $y = 1 + ln^2(x+1) \ge 1$.

Jadi, kurva yang dihasilkan adalah $y = 1 + ln^2(x+1)$.

Membandingkan dengan pilihan yang diberikan:
A. $y = ln(x^2 - 1)$
B. $y = ln(x^2 + 1)$
C. $y = -1 + ln^2(x+1)$
D. $y = 1 + ln^2(x+1)$
E. $y = 1 + ln^2(x-1)$

Pilihan yang sesuai adalah D.