Bentuk yang ekuivalen dengan 2 sin(x+y) sin(x-y) adalah ...

cos(2y) - cos(2x) atau sin^2 x - sin^2 y

Pembahasan

Bentuk yang ekuivalen dengan 2 sin(x+y) sin(x-y) dapat diturunkan menggunakan identitas trigonometri.

Kita tahu bahwa:
sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A-B) = sin A cos B - cos A sin B

Jadi,
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin(x-y) = sin x cos y - cos x sin y

Kalikan kedua persamaan tersebut:
sin(x+y) sin(x-y) = (sin x cos y + cos x sin y)(sin x cos y - cos x sin y)
= (sin x cos y)^2 - (cos x sin y)^2
= sin^2 x cos^2 y - cos^2 x sin^2 y

Kita juga tahu identitas:
cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A
cos(2A) = 2 cos^2 A - 1
cos(2A) = 1 - 2 sin^2 A

Dan identitas perkalian-ke-penjumlahan:
2 sin A sin B = cos(A-B) - cos(A+B)

Menerapkan identitas ini pada 2 sin(x+y) sin(x-y):
Misalkan A = x+y dan B = x-y
A-B = (x+y) - (x-y) = 2y
A+B = (x+y) + (x-y) = 2x

Maka, 2 sin(x+y) sin(x-y) = cos(2y) - cos(2x).

Bentuk lain yang ekuivalen bisa didapatkan dari bentuk sin^2 x cos^2 y - cos^2 x sin^2 y:
= sin^2 x (1-sin^2 y) - (1-sin^2 x) sin^2 y
= sin^2 x - sin^2 x sin^2 y - sin^2 y + sin^2 x sin^2 y
= sin^2 x - sin^2 y

Jadi, bentuk yang ekuivalen adalah cos(2y) - cos(2x) atau sin^2 x - sin^2 y.