Berapakah mean dari bilangan-bilangan berikut: 9, 99, 999,

Mean dari bilangan tersebut adalah 123.456.790,111...

Pembahasan

Untuk mencari mean (rata-rata) dari bilangan-bilangan tersebut, kita perlu menjumlahkan semua bilangan dan membaginya dengan banyaknya bilangan.

Bilangan-bilangan tersebut adalah: 9, 99, 999, 9.999, 99.999, 999.999, 9.999.999, 99.999.999, dan 999.999.999.

Untuk mempermudah penjumlahan, kita bisa mengamati pola dari bilangan-bilangan tersebut. Masing-masing bilangan adalah 10 dikurangi 1, atau 100 dikurangi 1, atau 1000 dikurangi 1, dan seterusnya, namun ini kurang tepat.

Mari kita jumlahkan secara langsung:
9
99
999
9.999
99.999
999.999
9.999.999
99.999.999
999.999.999
---------------------
1.111.111.111

Jumlah dari bilangan-bilangan tersebut adalah 1.111.111.111.
Banyaknya bilangan adalah 9.

Mean = (Jumlah semua bilangan) / (Banyaknya bilangan)
Mean = 1.111.111.111 / 9
Mean = 123.456.790.111

Alternatif lain dengan melihat pola:
Bilangan-bilangan tersebut dapat ditulis sebagai (10^1 - 1), (10^2 - 1), (10^3 - 1), (10^4 - 1), ..., (10^9 - 1).

Namun, angka-angkanya tidak persis seperti itu. Mari kita perhatikan angka-angkanya: 9, 99, 999, 9.999, 99.999, 999.999, 9.999.999, 99.999.999, 999.999.999.
Ini adalah urutan angka yang terdiri dari satu digit 9, dua digit 9, tiga digit 9, dan seterusnya hingga sembilan digit 9.

Jumlahnya adalah:
9
99
999
9999
99999
999999
9999999
99999999
999999999
------------
1111111111

Banyaknya data adalah 9.
Mean = 1111111111 / 9 = 123456790.111...

Ada kesalahan dalam soal penulisan angka 9.999, 99.999, dan seterusnya. Jika diasumsikan angka tersebut adalah 10.000, 100.000, dst., maka perhitungannya berbeda.

Mari kita asumsikan angka-angkanya adalah 9, 99, 999, 9999, 99999, 999999, 9999999, 99999999, 999999999.

Jumlah = 1.111.111.111
Banyak data = 9
Mean = 1.111.111.111 / 9 = 123.456.790,111...

Jika kita menggunakan pemikiran bahwa setiap angka adalah (10^n - 1) untuk n=1 sampai 9, maka:
Jumlah = (10-1) + (100-1) + (1000-1) + ... + (10^9 - 1)
Jumlah = (10 + 100 + 1000 + ... + 10^9) - (1 * 9)
Jumlah deret geometri = a(r^n - 1) / (r - 1)
Di sini, a=10, r=10, n=9.
Jumlah deret = 10(10^9 - 1) / (10 - 1) = 10(10^9 - 1) / 9
Jumlah = [10(10^9 - 1) / 9] - 9
Jumlah = [10^10 - 10] / 9 - 81/9
Jumlah = (10^10 - 91) / 9

Ini tidak sesuai dengan penjumlahan manual. Jadi, kita harus berpegang pada penjumlahan manual.

Mean = 1.111.111.111 / 9 = 123.456.790,111...