Bu Sofi seorang penjahit: Ia mendapat pesanan sarung bantal

a. Rp30.000,00; b. Minimum Rp40.000,00, Maksimum Rp67.000,00

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan pemrograman linear untuk memaksimalkan keuntungan.

Misalkan:
- x = jumlah sarung bantal yang dibuat
- y = jumlah taplak meja yang dibuat

Informasi dari tabel:
- Waktu persiapan sarung bantal: 15 menit/potong
- Waktu persiapan taplak meja: 10 menit/potong
- Waktu menjahit sarung bantal: 20 menit/potong
- Waktu menjahit taplak meja: 15 menit/potong

Kendala:
1.  **Total waktu persiapan tidak lebih dari 8 jam:**
    8 jam = 8 * 60 menit = 480 menit
    15x + 10y ≤ 480
    3x + 2y ≤ 96  (Kendala 1)

2.  **Total waktu menjahit paling sedikit 5 jam:**
    5 jam = 5 * 60 menit = 300 menit
    20x + 15y ≥ 300
    4x + 3y ≥ 60  (Kendala 2)

3.  **Non-negatif:**
    x ≥ 0
    y ≥ 0

Fungsi Tujuan (Upah):
Upah = 2000x + 1500y
Kita ingin memaksimalkan fungsi ini.

a. **Menentukan upah minimum:**
   Untuk mencari upah minimum, kita perlu mengevaluasi fungsi tujuan pada titik-titik sudut (vertex) dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala tersebut. Pertama, kita cari titik potong dari kendala-kendala tersebut.

   *   Titik potong Kendala 1 (3x + 2y = 96) dengan sumbu x (y=0):
       3x = 96 => x = 32. Titik (32, 0).
   *   Titik potong Kendala 1 (3x + 2y = 96) dengan sumbu y (x=0):
       2y = 96 => y = 48. Titik (0, 48).
   *   Titik potong Kendala 2 (4x + 3y = 60) dengan sumbu x (y=0):
       4x = 60 => x = 15. Titik (15, 0).
   *   Titik potong Kendala 2 (4x + 3y = 60) dengan sumbu y (x=0):
       3y = 60 => y = 20. Titik (0, 20).
   *   Titik potong Kendala 1 dan Kendala 2:
       Kalikan Kendala 1 dengan 3: 9x + 6y = 288
       Kalikan Kendala 2 dengan 2: 8x + 6y = 120
       Kurangkan persamaan kedua dari yang pertama:
       (9x + 6y) - (8x + 6y) = 288 - 120
       x = 168
       Substitusikan x = 168 ke Kendala 1:
       3(168) + 2y = 96
       504 + 2y = 96
       2y = 96 - 504
       2y = -408
       y = -204
       Titik ini (168, -204) tidak valid karena y harus non-negatif.

   Mari kita periksa kembali kendala dan titik potong.
   Kendala 1: 3x + 2y <= 96
   Kendala 2: 4x + 3y >= 60
   x >= 0, y >= 0

   Titik-titik sudut yang mungkin adalah perpotongan garis kendala dengan sumbu koordinat dan perpotongan antar garis kendala (jika relevan dalam daerah yang dibatasi).
   - Titik A: Perpotongan 4x + 3y = 60 dengan sumbu y (x=0) => 3y = 60 => y = 20. Titik (0, 20).
     Cek Kendala 1: 3(0) + 2(20) = 40 <= 96 (Valid)
     Upah di (0, 20): 2000(0) + 1500(20) = 30000.
   - Titik B: Perpotongan 4x + 3y = 60 dengan 3x + 2y = 96.
     Dari perhitungan sebelumnya, x = 168, y = -204. Titik ini tidak valid.

   Mari kita cari titik potong yang valid. Perhatikan bahwa kendala 1 membatasi ke atas dan kendala 2 membatasi ke bawah.
   Titik yang mungkin adalah:
   1. Perpotongan 4x + 3y = 60 dengan sumbu y (x=0): (0, 20). Upah = 30000.
   2. Perpotongan 3x + 2y = 96 dengan sumbu x (y=0): (32, 0).
      Cek Kendala 2: 4(32) + 3(0) = 128 >= 60 (Valid)
      Upah di (32, 0): 2000(32) + 1500(0) = 64000.
   3. Perpotongan 4x + 3y = 60 dengan sumbu x (y=0): (15, 0).
      Cek Kendala 1: 3(15) + 2(0) = 45 <= 96 (Valid)
      Upah di (15, 0): 2000(15) + 1500(0) = 30000.
   4. Perpotongan 3x + 2y = 96 dengan sumbu y (x=0): (0, 48).
      Cek Kendala 2: 4(0) + 3(48) = 144 >= 60 (Valid)
      Upah di (0, 48): 2000(0) + 1500(48) = 72000.

   Untuk mencari titik potong antara 4x + 3y = 60 dan 3x + 2y = 96:
   Kalikan 4x + 3y = 60 dengan 2 => 8x + 6y = 120
   Kalikan 3x + 2y = 96 dengan 3 => 9x + 6y = 288
   Kurangi persamaan pertama dari kedua: x = 168. Ini masih salah.

   Mari kita coba substitusi:
   Dari 3x + 2y = 96 => 2y = 96 - 3x => y = 48 - 1.5x
   Substitusi ke 4x + 3y = 60:
   4x + 3(48 - 1.5x) = 60
   4x + 144 - 4.5x = 60
   -0.5x = 60 - 144
   -0.5x = -84
   x = 168. Ini terus menerus salah.

   Sepertinya ada kesalahan dalam pemahaman atau penulisan soal terkait titik potong. Namun, jika kita melihat kendala:
   3x + 2y <= 96
   4x + 3y >= 60
   x>=0, y>=0

   Mari kita analisis ulang titik-titik sudut yang relevan pada daerah yang dibatasi:
   - Titik P1: Perpotongan 4x + 3y = 60 dengan sumbu y (x=0) -> (0, 20). Upah = 1500 * 20 = 30000.
   - Titik P2: Perpotongan 4x + 3y = 60 dengan sumbu x (y=0) -> (15, 0). Upah = 2000 * 15 = 30000.
   - Titik P3: Perpotongan 3x + 2y = 96 dengan sumbu y (x=0) -> (0, 48). Upah = 1500 * 48 = 72000.
   - Titik P4: Perpotongan 3x + 2y = 96 dengan sumbu x (y=0) -> (32, 0). Upah = 2000 * 32 = 64000.

   Daerah layak (feasible region) dibatasi oleh garis 4x + 3y = 60 (di atasnya) dan 3x + 2y = 96 (di bawahnya), serta sumbu x dan y.
   Titik-titik sudut yang berada dalam daerah layak adalah:
   - Titik (15, 0) [dari 4x+3y=60 dan y=0]
   - Titik (0, 20) [dari 4x+3y=60 dan x=0]
   - Titik (32, 0) [dari 3x+2y=96 dan y=0]
   - Titik (0, 48) [dari 3x+2y=96 dan x=0]
   - Titik perpotongan antara 4x+3y=60 dan 3x+2y=96. Kita sudah hitung ini memberikan hasil yang tidak valid (y negatif). Mari kita periksa kembali!
     3(4x+3y) = 3(60) => 12x + 9y = 180
     2(3x+2y) = 2(96) => 6x + 4y = 192
     Ini juga tidak membantu.

     Kita ulangi perhitungan titik potong antara 4x + 3y = 60 dan 3x + 2y = 96:
     Dari 3x + 2y = 96 => 2y = 96 - 3x => y = 48 - 1.5x
     Substitusi ke 4x + 3y = 60:
     4x + 3(48 - 1.5x) = 60
     4x + 144 - 4.5x = 60
     -0.5x = 60 - 144
     -0.5x = -84
     x = 168
     y = 48 - 1.5(168) = 48 - 252 = -204. Titik ini tidak berada di kuadran pertama.

   Artinya, daerah layak dibentuk oleh perpotongan garis 4x+3y=60 (di atasnya) dan 3x+2y=96 (di bawahnya) serta sumbu x dan y.
   Titik sudut yang relevan adalah:
   - (15, 0) dari 4x+3y=60 dan y=0. Upah = 30000.
   - (0, 20) dari 4x+3y=60 dan x=0. Upah = 30000.
   - (32, 0) dari 3x+2y=96 dan y=0. Upah = 64000.
   - (0, 48) dari 3x+2y=96 dan x=0. Upah = 72000.

   Daerah layak adalah segiempat dengan titik sudut (15,0), (32,0), (0,48), (0,20).
   Kita perlu mencari titik potong yang mungkin berada di dalam daerah layak.
   Garis 3x + 2y = 96 memotong sumbu x di 32 dan sumbu y di 48.
   Garis 4x + 3y = 60 memotong sumbu x di 15 dan sumbu y di 20.

   Karena 4x + 3y >= 60, daerahnya di atas garis ini.
   Karena 3x + 2y <= 96, daerahnya di bawah garis ini.

   Titik-titik sudut yang memenuhi kedua kendala adalah:
   - Titik potong 4x+3y=60 dengan sumbu x: (15, 0). Cek 3x+2y <= 96: 3(15)+2(0)=45<=96. Valid. Upah = 30000.
   - Titik potong 4x+3y=60 dengan sumbu y: (0, 20). Cek 3x+2y <= 96: 3(0)+2(20)=40<=96. Valid. Upah = 30000.
   - Titik potong 3x+2y=96 dengan sumbu x: (32, 0). Cek 4x+3y >= 60: 4(32)+3(0)=128>=60. Valid. Upah = 64000.
   - Titik potong 3x+2y=96 dengan sumbu y: (0, 48). Cek 4x+3y >= 60: 4(0)+3(48)=144>=60. Valid. Upah = 72000.

   Perpotongan kedua garis 4x+3y=60 dan 3x+2y=96 tidak relevan karena menghasilkan koordinat negatif.

   Jadi, nilai upah pada titik-titik sudut yang memenuhi kendala adalah 30000, 30000, 64000, 72000.
   Upah minimum = 30000.

b. **Upah minimum dan maksimum jika Bu Sofi menjahit 20 potong sarung bantal (x=20):**
   Substitusikan x = 20 ke dalam kendala:
   Kendala 1: 3(20) + 2y ≤ 96 => 60 + 2y ≤ 96 => 2y ≤ 36 => y ≤ 18.
   Kendala 2: 4(20) + 3y ≥ 60 => 80 + 3y ≥ 60 => 3y ≥ -20 => y ≥ -20/3. Karena y ≥ 0, maka y ≥ 0.

   Jadi, jika x = 20, maka 0 ≤ y ≤ 18.
   Fungsi upah: Upah = 2000(20) + 1500y = 40000 + 1500y.

   - **Upah Minimum:** terjadi saat y minimum, yaitu y = 0.
     Upah Minimum = 40000 + 1500(0) = 40000.
   - **Upah Maksimum:** terjadi saat y maksimum, yaitu y = 18.
     Upah Maksimum = 40000 + 1500(18) = 40000 + 27000 = 67000.

Jawaban ringkas:
a. Upah minimum yang diterima Bu Sofi adalah Rp30.000,00.
b. Jika Bu Sofi menjahit 20 potong sarung bantal, upah minimumnya adalah Rp40.000,00 dan upah maksimumnya adalah Rp67.000,00.