Buatlah peta konsep pengintegralan terhadap x untuk setiap

a. ∫ 2x^3 dx = (1/2)x^4 + C, b. ∫ 1/√x dx = 2√x + C

Pembahasan

Pengintegralan (atau anti-diferensiasi) adalah operasi kebalikan dari diferensiasi. Tujuannya adalah menemukan fungsi F(x) sedemikian rupa sehingga F'(x) = f(x).

Rumus dasar pengintegralan untuk x^n adalah: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, di mana C adalah konstanta integrasi.

Untuk soal ini, kita akan mengintegralkan dua bentuk terhadap x:

a. ∫ 2x^3 dx
   Dalam kasus ini, konstanta 2 dapat dikeluarkan dari integral.
   ∫ 2x^3 dx = 2 * ∫ x^3 dx
   Menggunakan rumus ∫ x^n dx dengan n=3:
   = 2 * [ (x^(3+1))/(3+1) ] + C
   = 2 * [ x^4 / 4 ] + C
   = (1/2)x^4 + C

b. ∫ 1/√x dx
   Pertama, kita ubah bentuk akar menjadi pangkat pecahan:
   1/√x = 1/x^(1/2) = x^(-1/2).
   Jadi, integralnya menjadi: ∫ x^(-1/2) dx.
   Menggunakan rumus ∫ x^n dx dengan n = -1/2:
   = [ x^(-1/2 + 1) ] / (-1/2 + 1) + C
   = [ x^(1/2) ] / (1/2) + C
   = 2 * x^(1/2) + C
   = 2√x + C

Peta konsep pengintegralan:

[Integral Tak Tentu] --(definisinya)--> [Fungsi F(x) sehingga F'(x)=f(x)]
      |
      | (Aturan Dasar)
      V
[∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C]
      |
      +-----> (Kasus n = -1) [∫ 1/x dx = ln|x| + C]
      |
      +-----> (Kasus konstanta) [∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx]
      |
      +-----> (Kasus penjumlahan/pengurangan) [∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx]

Untuk soal spesifik:

Soal a: ∫ 2x^3 dx
 - Bentuk: k * x^n (dengan k=2, n=3)
 - Gunakan aturan konstanta dan aturan pangkat:
 - Hasil: 2 * (x^(3+1))/(3+1) + C = (1/2)x^4 + C

Soal b: ∫ 1/√x dx
 - Ubah bentuk: ∫ x^(-1/2) dx
 - Bentuk: x^n (dengan n=-1/2)
 - Gunakan aturan pangkat:
 - Hasil: (x^(-1/2+1))/(-1/2+1) + C = 2x^(1/2) + C = 2√x + C