Buatlah sketsa grafik setiap fungsi berikut.y=x(x-3)^2

Grafik dimulai dari kuadran III, memotong sumbu y di (0,0), mencapai maksimum lokal di (1,4), menyentuh sumbu x di (3,0) sebagai minimum lokal, lalu naik ke kuadran I.

Pembahasan

Untuk membuat sketsa grafik fungsi y = x(x-3)²:

Langkah 1: Tentukan titik potong sumbu x.
Titik potong sumbu x terjadi ketika y = 0.
x(x-3)² = 0
Ini memberikan x = 0 atau (x-3)² = 0, yang berarti x = 3.
Jadi, titik potong sumbu x adalah (0, 0) dan (3, 0).

Langkah 2: Tentukan titik potong sumbu y.
Titik potong sumbu y terjadi ketika x = 0.
y = 0(0-3)²
y = 0(9)
y = 0
Jadi, titik potong sumbu y adalah (0, 0).

Langkah 3: Analisis perilaku grafik di sekitar titik potong sumbu x.
Di x = 0, faktor x memiliki pangkat ganjil (1), sehingga grafik akan memotong sumbu x di titik ini.
Di x = 3, faktor (x-3) memiliki pangkat genap (2), sehingga grafik akan menyinggung sumbu x di titik ini.

Langkah 4: Tentukan perilaku akhir grafik (ketika x mendekati ∞ dan -∞).
Fungsi y = x(x-3)² dapat diekspansi menjadi:
y = x(x² - 6x + 9)
y = x³ - 6x² + 9x

Karena suku dengan pangkat tertinggi adalah x³ (dengan koefisien positif), maka:
Ketika x → ∞, y → ∞.
Ketika x → -∞, y → -∞.

Langkah 5: Perkirakan lokasi titik ekstrem (maksimum atau minimum lokal).
Untuk menemukan titik ekstrem, kita perlu mencari turunan pertama fungsi dan menyamakannya dengan nol.
y' = d/dx (x³ - 6x² + 9x)
y' = 3x² - 12x + 9

Samakan y' dengan 0:
3x² - 12x + 9 = 0
Bagi dengan 3:
x² - 4x + 3 = 0
Faktorkan:
(x - 1)(x - 3) = 0
Ini memberikan x = 1 dan x = 3.

Sekarang, cari nilai y pada titik-titik x ini:
Jika x = 1, y = 1(1-3)² = 1(-2)² = 1(4) = 4. Jadi, ada titik (1, 4).
Jika x = 3, y = 3(3-3)² = 3(0)² = 0. Ini adalah titik (3, 0) yang sudah kita ketahui sebagai titik singgung.

Untuk menentukan apakah (1, 4) adalah maksimum atau minimum lokal, kita bisa menggunakan turunan kedua atau menguji nilai di sekitar x = 1.

Menggunakan turunan kedua:
y'' = d/dx (3x² - 12x + 9)
y'' = 6x - 12

Di x = 1, y'' = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6. Karena y'' < 0, maka titik (1, 4) adalah maksimum lokal.
Di x = 3, y'' = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6. Karena y'' > 0, maka titik (3, 0) adalah minimum lokal (atau titik belok dengan kemiringan nol karena pangkat genap).

Langkah 6: Sketsa grafik.

1. Plot titik-titik penting: (0, 0) (titik potong sumbu x dan y), (3, 0) (titik potong sumbu x dan menyinggung), (1, 4) (maksimum lokal).
2. Mulai dari bawah ke kanan (karena x → -∞, y → -∞).
3. Naik menuju (0, 0) dan memotong sumbu x.
4. Terus naik hingga mencapai maksimum lokal di (1, 4).
5. Turun dari (1, 4) menuju (3, 0).
6. Menyinggung sumbu x di (3, 0) (titik minimum lokal).
7. Naik lagi dari (3, 0) ke kanan atas (karena x → ∞, y → ∞).

Sketsa Grafik:
Grafik dimulai dari kuadran III, naik memotong sumbu y di (0,0), mencapai puncak di (1,4), kemudian turun menyentuh sumbu x di (3,0) dan terus naik ke kuadran I.