Buktikan (1 - cotan x)/cosec x = akar(1 - 2 sin x . cos x)

Identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan menyederhanakan kedua sisi. Sisi kiri (1 - cotan x)/cosec x disederhanakan menjadi sin x - cos x. Sisi kanan akar(1 - 2 sin x . cos x) berkaitan dengan kuadrat dari (sin x - cos x). Agar identitas berlaku, diperlukan syarat tambahan yaitu sin x >= cos x.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri \((1 - \cot x) / \csc x\) = \(\sqrt{1 - 2 \sin x \cdot \cos x}\), kita dapat menyederhanakan sisi kiri terlebih dahulu:

1. Ubah \(\cot x\) menjadi \(\cos x / \sin x\) dan \(\csc x\) menjadi \(1 / \sin x\).
   \(\frac{1 - \cot x}{\csc x} = \frac{1 - \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\sin x}}\)

2. Kalikan pembilang dan penyebut dengan \(\sin x\) untuk menghilangkan pecahan di dalam pecahan:
   \(\frac{\sin x (1 - \frac{\cos x}{\sin x})}{\sin x (\frac{1}{\sin x})} = \frac{\sin x - \cos x}{1} = \sin x - \cos x\)

Sekarang, mari kita lihat sisi kanan dan coba menyederhanakannya:

1. Ingat identitas \((\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x\).
2. Karena \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), maka \((\sin x - \cos x)^2 = 1 - 2 \sin x \cos x\).
3. Mengambil akar kuadrat dari kedua sisi, kita mendapatkan \(\sin x - \cos x = \pm\sqrt{1 - 2 \sin x \cos x}\).

Namun, perlu diperhatikan bahwa identitas yang diminta adalah \(\sqrt{1 - 2 \sin x \cdot \cos x}\). Agar \(\sin x - \cos x\) sama dengan \(\sqrt{1 - 2 \sin x \cdot \cos x}\), kita perlu memastikan bahwa \(\sin x - \cos x\) positif. Ini terjadi ketika \(\sin x > \cos x\), yang berlaku pada kuadran I dan II di mana \(x\) berada di antara \(\pi/4\) dan \(3\pi/4\).

Jadi, \(\frac{1 - \
cotan x}{\\,csc x}\\} = \\[sin x - cos x\\\\) dan \(\\,sqrt{1 - 2 sin x . cos x}\\} = |sin x - cos x|. Agar kedua sisi sama, maka \\[sin x - cos x \\ge 0\\).