Buktikan 1-sin A/1+sin A=(sec A-tan A)^2.

Identitas terbukti dengan mengubah sisi kanan $(\sec A - \tan A)^2$ menggunakan definisi $\sec A$ dan $\tan A$, lalu menggunakan identitas $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ dan faktorisasi selisih kuadrat.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $\frac{1 - \sin A}{1 + \sin A} = (\sec A - \tan A)^2$, kita akan mulai dari salah satu sisi dan mencoba mengubahnya menjadi sisi lainnya.
Mari kita mulai dari sisi kanan:
$(\sec A - \tan A)^2$
Kita tahu bahwa $\sec A = \frac{1}{\cos A}$ dan $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$. Substitusikan ini ke dalam persamaan:
$= (\frac{1}{\cos A} - \frac{\sin A}{\cos A})^2$
$= (\frac{1 - \sin A}{\cos A})^2$
$= \frac{(1 - \sin A)^2}{\cos^2 A}$
Sekarang, kita gunakan identitas identitas $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, yang berarti $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$.
$= \frac{(1 - \sin A)^2}{1 - \sin^2 A}$
Perhatikan penyebutnya, $1 - \sin^2 A$, yang merupakan selisih dua kuadrat dan dapat difaktorkan menjadi $(1 - \sin A)(1 + \sin A)$.
$= \frac{(1 - \sin A)^2}{(1 - \sin A)(1 + \sin A)}$
Kita dapat membatalkan satu faktor $(1 - \sin A)$ dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi $\sin A \neq 1$):
$= \frac{1 - \sin A}{1 + \sin A}$
Hasil ini sama dengan sisi kiri dari identitas yang ingin dibuktikan. Oleh karena itu, identitas tersebut terbukti benar.