Tentukan jumlah akar-akar persamaan 5^(x+1) + 5^(6-x)= 11.

5

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah 5^(x+1) + 5^(6-x) = 11.

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial ini, kita bisa menggunakan substitusi. Misalkan y = 5^x.
Maka persamaan dapat ditulis ulang sebagai:
5 * 5^x + 5^6 / 5^x = 11
5y + 5^6 / y = 11

Kalikan kedua sisi dengan y untuk menghilangkan penyebut:
5y^2 + 5^6 = 11y
5y^2 - 11y + 5^6 = 0
5y^2 - 11y + 15625 = 0

Persamaan kuadrat ini dalam bentuk ay^2 + by + c = 0, dengan a=5, b=-11, dan c=15625.
Untuk mencari jumlah akar-akar (y1 + y2), kita gunakan rumus Vieta:
Jumlah akar = -b/a
Jumlah akar = -(-11)/5 = 11/5.

Namun, kita perlu ingat bahwa y = 5^x. Jika y1 dan y2 adalah akar dari persamaan kuadrat dalam y, maka kita memiliki:
5^x1 = y1
5^x2 = y2

Kita ingin mencari jumlah akar-akar persamaan dalam x, yaitu x1 + x2.
Dari y1 * y2 = c/a, kita punya:
y1 * y2 = 15625 / 5 = 3125

Substitusikan kembali y = 5^x:
5^x1 * 5^x2 = 3125
5^(x1 + x2) = 3125

Kita tahu bahwa 3125 = 5^5.
Jadi, 5^(x1 + x2) = 5^5.

Karena basisnya sama, maka eksponennya harus sama:
x1 + x2 = 5.

Jadi, jumlah akar-akar persamaan 5^(x+1) + 5^(6-x) = 11 adalah 5.