Buktikan 4n>2^n untuk semua bilangan positif n>=1

Pernyataan 4n > 2^n terbukti salah untuk n ≥ 4. Contoh penyangkal adalah n=4 (16=16) dan n=5 (20<32).

Pembahasan

Pembuktian dengan induksi matematika:

Basis Induksi (n=1):
4(1) > 2^1
4 > 2 (Benar)

Asumsi Induksi:
Asumsikan 4k > 2^k benar untuk suatu bilangan bulat positif k.

Langkah Induksi:
Kita harus membuktikan bahwa 4(k+1) > 2^(k+1) benar.
4(k+1) = 4k + 4

Dari asumsi induksi, kita tahu bahwa 4k > 2^k.
Maka, 4k + 4 > 2^k + 4.
Kita perlu menunjukkan bahwa 2^k + 4 >= 2^(k+1) atau 2^k + 4 >= 2 * 2^k.
Ini setara dengan 4 >= 2^k.

Ketidaksetaraan 4 >= 2^k hanya berlaku untuk k=1 dan k=2. Untuk k>2, ketidaksetaraan ini tidak berlaku.
Mari kita coba pendekatan lain:

Kita ingin membuktikan 4(k+1) > 2^(k+1).
4(k+1) = 4k + 4
Kita tahu dari hipotesis bahwa 4k > 2^k.
Jadi, 4k + 4 > 2^k + 4.
Kita perlu menunjukkan bahwa 2^k + 4 > 2^(k+1) = 2 * 2^k.
Ini berarti 4 > 2^k.

Karena 4 > 2^k hanya benar untuk k=1, pembuktian ini gagal untuk n > 2.

Mari kita evaluasi ulang ketidaksetaraan:
Untuk n=1: 4(1) = 4, 2^1 = 2. 4 > 2 (Benar)
Untuk n=2: 4(2) = 8, 2^2 = 4. 8 > 4 (Benar)
Untuk n=3: 4(3) = 12, 2^3 = 8. 12 > 8 (Benar)
Untuk n=4: 4(4) = 16, 2^4 = 16. 16 > 16 (Salah)
Untuk n=5: 4(5) = 20, 2^5 = 32. 20 > 32 (Salah)

Pernyataan awal bahwa 4n > 2^n untuk semua bilangan positif n>=1 adalah SALAH. Pernyataan ini hanya benar untuk n=1, 2, 3.

Jika soalnya adalah membuktikan 4n >= 2^n, maka itu benar untuk n=1, 2, 3, 4, tetapi salah untuk n=5.

Asumsi soal adalah \"Buktikan 4n>2^n untuk semua bilangan positif n>=5\". Maka ini adalah salah.

Mari kita asumsikan ada kesalahan ketik pada soal dan seharusnya adalah \"Buktikan 2n < 2^n untuk n>=3\".

Basis Induksi (n=3):
2(3) = 6, 2^3 = 8. 6 < 8 (Benar)

Asumsi Induksi:
Asumsikan 2k < 2^k benar untuk k>=3.

Langkah Induksi:
Kita ingin membuktikan 2(k+1) < 2^(k+1).
2(k+1) = 2k + 2.
Dari asumsi induksi, 2k < 2^k.
Maka, 2k + 2 < 2^k + 2.
Kita perlu menunjukkan bahwa 2^k + 2 <= 2^(k+1) = 2 * 2^k.
Ini setara dengan 2 <= 2^k.

Ketidaksetaraan 2 <= 2^k benar untuk semua k>=1. Karena kita bekerja dengan k>=3, maka ini pasti benar.

Jadi, 2n < 2^n untuk semua bilangan bulat n>=3 terbukti benar.

Karena soal asli adalah \"Buktikan 4n>2^n untuk semua bilangan positif n>=1\", dan kita telah menunjukkan ini salah untuk n=4 dan n=5, maka pembuktiannya adalah bahwa pernyataan tersebut tidak benar secara umum. Bukti matematis formal untuk menyangkal pernyataan tersebut adalah dengan menunjukkan contoh penyangkal (counterexample), yaitu n=4 atau n=5.