Nilai x yang memenuhi persamaan 2(cos x+sin x)=akar(2)

105° dan 345°.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan 2(cos x + sin x) = √2, kita bisa membagi kedua sisi dengan 2 terlebih dahulu, sehingga menjadi cos x + sin x = √2 / 2.
Kita bisa mengubah bentuk cos x + sin x menjadi R cos(x - α) atau R sin(x + α).
Mari kita gunakan R sin(x + α) = R(sin x cos α + cos x sin α).
Dengan membandingkan cos x + sin x dengan R(sin x cos α + cos x sin α), kita dapatkan:
R cos α = 1
R sin α = 1
Kuadratkan kedua persamaan dan jumlahkan: R² cos² α + R² sin² α = 1² + 1² => R²(cos² α + sin² α) = 2 => R² = 2 => R = √2.
Bagi persamaan R sin α dengan R cos α: (R sin α) / (R cos α) = 1/1 => tan α = 1. Karena sin α dan cos α positif, maka α berada di kuadran I, sehingga α = 45° atau π/4.
Jadi, cos x + sin x = √2 sin(x + 45°).
Persamaan menjadi √2 sin(x + 45°) = √2 / 2.
Bagi kedua sisi dengan √2: sin(x + 45°) = 1/2.
Nilai sinus yang menghasilkan 1/2 adalah 30° atau 150°.
Kasus 1: x + 45° = 30° + k * 360° => x = -15° + k * 360°. Untuk k = 1, x = 345°.
Kasus 2: x + 45° = 150° + k * 360° => x = 105° + k * 360°. Untuk k = 0, x = 105°.
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 105° dan 345°.