Buktikan bahwa -(1/2) adalah akar persamaan

Pembuktian awal menunjukkan -(1/2) bukan akar. Jika diasumsikan benar, akar lainnya adalah 1/2 ± i√7.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa -(1/2) adalah akar dari persamaan 4x^3 - 2x^2 + 27x + 20 = 0, kita substitusikan x = -(1/2) ke dalam persamaan:
4(-(1/2))^3 - 2(-(1/2))^2 + 27(-(1/2)) + 20
= 4(-1/8) - 2(1/4) - 27/2 + 20
= -1/2 - 1/2 - 27/2 + 40/2
= (-1 - 1 - 27 + 40)/2
= 11/2

Karena hasil substitusi tidak sama dengan 0, maka -(1/2) BUKAN akar dari persamaan tersebut. Terdapat kesalahan dalam soal atau asumsi awal.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan ketik pada soal dan seharusnya nilai yang dimaksud adalah akar, mari kita coba faktorkan jika memang ada akar rasional.

Mari kita coba cek jika x = -2/3 adalah akar:
4(-2/3)^3 - 2(-2/3)^2 + 27(-2/3) + 20
= 4(-8/27) - 2(4/9) - 18 + 20
= -32/27 - 8/9 + 2
= -32/27 - 24/27 + 54/27
= (-32 - 24 + 54)/27
= -2/27 (Bukan akar)

Mari kita coba cek jika x = -4/3 adalah akar:
4(-4/3)^3 - 2(-4/3)^2 + 27(-4/3) + 20
= 4(-64/27) - 2(16/9) - 36 + 20
= -256/27 - 32/9 - 16
= -256/27 - 96/27 - 432/27
= (-256 - 96 - 432)/27
= -784/27 (Bukan akar)

Asumsi soal yang benar adalah -(1/2) adalah akar. Kita akan lanjutkan dengan asumsi ini untuk mencari akar lain, meskipun perhitungan awal menunjukkan sebaliknya.

Jika -(1/2) adalah akar, maka (x + 1/2) atau (2x + 1) adalah faktornya.
Kita bisa menggunakan pembagian polinomial (sintetis atau bersusun) untuk membagi 4x^3 - 2x^2 + 27x + 20 dengan (2x + 1).

Menggunakan pembagian sintetis dengan akar -1/2:
-1/2 | 4  -2   27   20
    |    -2    2  -29/2
    ------------------
      4  -4   29  11/2

Hasil bagi adalah 4x^2 - 4x + 29 dengan sisa 11/2. Sekali lagi, ini menunjukkan bahwa -(1/2) bukan akar.

Jika kita mengabaikan bukti awal dan mencoba mencari akar yang lain dengan asumsi -(1/2) adalah akar:
Polinomial hasil bagi (jika -1/2 adalah akar yang benar) adalah 4x^2 - 4x + 29 = 0.
Kita gunakan rumus kuadratik untuk mencari akar dari 4x^2 - 4x + 29 = 0:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [4 ± sqrt((-4)^2 - 4 * 4 * 29)] / (2 * 4)
x = [4 ± sqrt(16 - 464)] / 8
x = [4 ± sqrt(-448)] / 8
x = [4 ± i * sqrt(448)] / 8
x = [4 ± i * 8 * sqrt(7)] / 8
x = 1/2 ± i * sqrt(7)

Jadi, jika -(1/2) adalah akar (meskipun terbukti tidak), maka akar-akar lainnya adalah 1/2 + i*sqrt(7) dan 1/2 - i*sqrt(7). Namun, penting untuk dicatat bahwa langkah pembuktian awal gagal, yang menunjukkan kemungkinan kesalahan pada soal.