Buktikan bahwa: 1+tan^2 theta=sec^2 theta

Identitas terbukti dengan menggunakan definisi tan dan sec serta identitas dasar sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri 1 + tan^2(theta) = sec^2(theta), kita bisa mulai dari definisi tan(theta) dan sec(theta) dalam bentuk sin(theta) dan cos(theta).

Kita tahu bahwa:
tan(theta) = sin(theta) / cos(theta)
sec(theta) = 1 / cos(theta)

Maka, tan^2(theta) = (sin(theta) / cos(theta))^2 = sin^2(theta) / cos^2(theta).

Sekarang, mari kita substitusikan ke dalam sisi kiri identitas:
1 + tan^2(theta) = 1 + (sin^2(theta) / cos^2(theta))

Untuk menjumlahkan kedua suku, kita samakan penyebutnya:
1 + (sin^2(theta) / cos^2(theta)) = cos^2(theta) / cos^2(theta) + sin^2(theta) / cos^2(theta)

Jumlahkan pembilangnya:
= (cos^2(theta) + sin^2(theta)) / cos^2(theta)

Kita tahu dari identitas trigonometri dasar bahwa cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1.

Maka, ekspresi tersebut menjadi:
= 1 / cos^2(theta)

Dan kita tahu bahwa 1 / cos(theta) = sec(theta), sehingga 1 / cos^2(theta) = sec^2(theta).

Jadi, terbukti bahwa 1 + tan^2(theta) = sec^2(theta).