Diketahui vektor-vektor berikut. vektor a=(1 1 akar(2)),

-1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep vektor, yaitu proyeksi skalar dan vektor tegak lurus.

Diketahui:
vektor a = (1, 1, √2)
vektor b = (2, 2√2, p)
vektor c = (0, q, √2)

Informasi 1: Panjang proyeksi skalar vektor b pada vektor a adalah 1.
Rumus proyeksi skalar vektor b pada vektor a adalah: | (a · b) / |a| |

Hitung a · b (dot product):
a · b = (1 * 2) + (1 * 2√2) + (√2 * p)
a · b = 2 + 2√2 + p√2

Hitung |a| (magnitudo vektor a):
|a| = √(1^2 + 1^2 + (√2)^2)
|a| = √(1 + 1 + 2)
|a| = √4
|a| = 2

Sekarang gunakan informasi panjang proyeksi skalar:
| (2 + 2√2 + p√2) / 2 | = 1
| 1 + √2 + (p√2)/2 | = 1

Ini memberikan dua kemungkinan:
Kasus 1: 1 + √2 + (p√2)/2 = 1
√2 + (p√2)/2 = 0
√2 (1 + p/2) = 0
1 + p/2 = 0
p/2 = -1
p = -2

Kasus 2: 1 + √2 + (p√2)/2 = -1
√2 + (p√2)/2 = -2
√2 (1 + p/2) = -2
1 + p/2 = -2/√2
1 + p/2 = -√2
p/2 = -√2 - 1
p = -2√2 - 2

Informasi 2: Vektor b tegak lurus dengan vektor c.
Jika dua vektor tegak lurus, maka dot product mereka adalah 0.
b · c = 0

Hitung b · c:
b · c = (2 * 0) + (2√2 * q) + (p * √2)
b · c = 0 + 2√2 q + p√2
b · c = √2 (2q + p)

Karena b · c = 0:
√2 (2q + p) = 0
2q + p = 0
2q = -p
q = -p/2

Sekarang kita gabungkan hasil dari kedua informasi:
Jika kita gunakan p = -2 (dari Kasus 1):
q = -(-2)/2 = 2/2 = 1
Maka p + q = -2 + 1 = -1

Jika kita gunakan p = -2√2 - 2 (dari Kasus 2):
q = -(-2√2 - 2)/2 = (2√2 + 2)/2 = √2 + 1
Maka p + q = (-2√2 - 2) + (√2 + 1) = -√2 - 1

Biasanya dalam soal seperti ini, kita mencari nilai yang lebih sederhana, yaitu p = -2 dan q = 1. Mari kita periksa kembali apakah ada informasi yang terlewat atau asumsi yang salah.

Periksa kembali panjang proyeksi skalar:
| (a · b) / |a| |
Jika p = -2, a·b = 2 + 2√2 + (-2)√2 = 2 + 2√2 - 2√2 = 2.
|a| = 2.
Proyeksi = |2 / 2| = 1. Ini cocok.

Periksa vektor tegak lurus:
Jika p = -2, maka 2q + p = 0 => 2q - 2 = 0 => 2q = 2 => q = 1.
Ini cocok.

Maka, nilai p = -2 dan q = 1.
Nilai p + q = -2 + 1 = -1.