Buktikan bahwa 4 merupakan faktor dari ekspresi 3+5^n untuk

Terbukti dengan induksi matematika.

Pembahasan

Kita akan membuktikan bahwa 4 adalah faktor dari 3 + 5^n untuk semua bilangan asli n menggunakan induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n = 1, kita periksa apakah 3 + 5^1 habis dibagi 4.
3 + 5^1 = 3 + 5 = 8.
Karena 8 habis dibagi 4 (8 = 4 * 2), maka pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu 3 + 5^k habis dibagi 4. Ini berarti 3 + 5^k = 4m untuk suatu bilangan bulat m.

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1, yaitu 3 + 5^(k+1) habis dibagi 4.
Perhatikan ekspresi untuk n = k+1:
3 + 5^(k+1) = 3 + 5^k * 5^1
Kita tahu dari hipotesis induksi bahwa 5^k = 4m - 3.
Substitusikan nilai 5^k ke dalam ekspresi:
3 + 5^(k+1) = 3 + (4m - 3) * 5
= 3 + 20m - 15
= 20m - 12
= 4(5m - 3)

Karena 5m - 3 adalah bilangan bulat, maka 3 + 5^(k+1) dapat ditulis sebagai 4 dikali suatu bilangan bulat. Ini menunjukkan bahwa 3 + 5^(k+1) habis dibagi 4.

Kesimpulan
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 4 adalah faktor dari ekspresi 3 + 5^n untuk semua bilangan asli n.