Buktikan bahwa (a^n - b^n) habis dibagi (a-b) untuk semua n

Terbukti menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa (a^n - b^n) habis dibagi oleh (a-b) untuk semua n bilangan asli, kita dapat menggunakan induksi matematika.

Basis Induksi (n=1):
Untuk n=1, (a^1 - b^1) = a - b. Jelas bahwa (a-b) habis dibagi oleh (a-b).

Langkah Induksi:
Asumsikan bahwa (a^k - b^k) habis dibagi oleh (a-b) untuk suatu bilangan asli k. Ini berarti a^k - b^k = m(a-b) untuk suatu bilangan bulat m.

Selanjutnya, kita perlu membuktikan bahwa (a^(k+1) - b^(k+1)) juga habis dibagi oleh (a-b).

a^(k+1) - b^(k+1) = a^(k+1) - a*b^k + a*b^k - b^(k+1)
= a(a^k - b^k) + b^k(a - b)

Karena kita mengasumsikan bahwa (a^k - b^k) habis dibagi oleh (a-b), maka a^k - b^k = m(a-b).
Substitusikan ini ke dalam persamaan:

a^(k+1) - b^(k+1) = a(m(a-b)) + b^k(a - b)
= am(a-b) + b^k(a - b)
= (am + b^k)(a-b)

Karena am + b^k adalah suatu bilangan bulat, maka terbukti bahwa (a^(k+1) - b^(k+1)) habis dibagi oleh (a-b).

Kesimpulan:
Dengan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa (a^n - b^n) habis dibagi oleh (a-b) untuk semua n bilangan asli.