Buktikan bahwa: cos alpha=(1-tan^2(1/2 alpha))/(1+tan^2(1/2

Identitas terbukti dengan menggunakan substitusi tan = sin/cos, penyamaan penyebut, pembatalan cos^2(1/2 alpha), identitas dasar sin^2+cos^2=1, dan identitas sudut ganda cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri cos alpha = (1 - tan^2(1/2 alpha)) / (1 + tan^2(1/2 alpha)), kita dapat mulai dari ruas kanan identitas tersebut.

Kita tahu bahwa tan(x) = sin(x) / cos(x), sehingga tan^2(1/2 alpha) = sin^2(1/2 alpha) / cos^2(1/2 alpha).

Mengganti tan^2(1/2 alpha) ke dalam ruas kanan:

(1 - tan^2(1/2 alpha)) / (1 + tan^2(1/2 alpha)) = (1 - sin^2(1/2 alpha) / cos^2(1/2 alpha)) / (1 + sin^2(1/2 alpha) / cos^2(1/2 alpha))

Selanjutnya, samakan penyebut di dalam pembilang dan penyebut:

= ((cos^2(1/2 alpha) - sin^2(1/2 alpha)) / cos^2(1/2 alpha)) / ((cos^2(1/2 alpha) + sin^2(1/2 alpha)) / cos^2(1/2 alpha))

Kita dapat membatalkan cos^2(1/2 alpha) dari pembilang dan penyebut:

= (cos^2(1/2 alpha) - sin^2(1/2 alpha)) / (cos^2(1/2 alpha) + sin^2(1/2 alpha))

Menggunakan identitas trigonometri dasar bahwa cos^2(x) + sin^2(x) = 1, maka penyebutnya menjadi 1:

= (cos^2(1/2 alpha) - sin^2(1/2 alpha)) / 1

= cos^2(1/2 alpha) - sin^2(1/2 alpha)

Terakhir, gunakan identitas trigonometri sudut ganda untuk cosinus, yaitu cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x). Dalam kasus ini, x = 1/2 alpha, sehingga 2x = alpha:

= cos(alpha)

Jadi, terbukti bahwa cos alpha = (1 - tan^2(1/2 alpha)) / (1 + tan^2(1/2 alpha)).