Buktikan bahwa dengan induksi matematika bahwa: Buktikan

Dengan induksi matematika, terbukti bahwa 5^n - 1 habis dibagi 4.

Pembahasan

Kita akan membuktikan bahwa 5^n - 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan asli n menggunakan induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n = 1:
5¹ - 1 = 5 - 1 = 4. Karena 4 habis dibagi 4, maka pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu 5^k - 1 habis dibagi 4. Ini berarti 5^k - 1 = 4m untuk suatu bilangan bulat m. Dari sini, kita dapat menulis 5^k = 4m + 1.

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa 5^(k+1) - 1 habis dibagi 4.

Perhatikan ekspresi 5^(k+1) - 1:
5^(k+1) - 1 = 5 * 5^k - 1

Sekarang, substitusikan 5^k = 4m + 1 dari hipotesis induksi:
5 * (4m + 1) - 1
= 20m + 5 - 1
= 20m + 4

Kita dapat memfaktorkan 4 dari ekspresi ini:
= 4(5m + 1)

Karena (5m + 1) adalah bilangan bulat (karena m adalah bilangan bulat), maka 4(5m + 1) jelas habis dibagi 4.

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, karena pernyataan tersebut benar untuk n=1, dan jika benar untuk n=k maka juga benar untuk n=k+1, maka dapat disimpulkan bahwa 5^n - 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan asli n.