Buktikan bahwa: lim x->pi/6 (1/2 -sin x)/(x-pi/6)=-1/2

Terbukti dengan menggunakan aturan L'Hôpital, turunan dari pembilang adalah $-\cos x$ dan turunan dari penyebut adalah 1. Substitusi $x=\pi/6$ menghasilkan $-\cos(\pi/6) = -\sqrt{3}/2$.

Pembahasan

Untuk membuktikan limit $\lim_{x \to \pi/6} \frac{1/2 - \sin x}{x - \pi/6} = -1/2 \sqrt{3}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena substitusi langsung $x = \pi/6$ menghasilkan bentuk tak tentu $0/0$.

Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk $0/0$ atau $\infty/\infty$, maka $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit di sisi kanan ada.

Dalam kasus ini, $f(x) = 1/2 - \sin x$ dan $g(x) = x - \pi/6$.

Langkah 1: Cari turunan dari f(x) dan g(x).
Turunan dari $f(x) = 1/2 - \sin x$ adalah $f'(x) = 0 - \cos x = -\cos x$.
Turunan dari $g(x) = x - \pi/6$ adalah $g'(x) = 1$.

Langkah 2: Terapkan aturan L'Hôpital.
$\lim_{x \to \pi/6} \frac{1/2 - \sin x}{x - \pi/6} = \lim_{x \to \pi/6} \frac{-\cos x}{1}$

Langkah 3: Substitusikan nilai $x = \pi/6$ ke dalam hasil turunan.
$= -\cos(\pi/6)$

Kita tahu bahwa nilai kosinus dari $\pi/6$ radian (atau 30 derajat) adalah $\sqrt{3}/2$.
Jadi,
$= -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Hasil ini sama dengan $-1/2 \sqrt{3}$.

Oleh karena itu, terbukti bahwa $\lim_{x \to \pi/6} \frac{1/2 - \sin x}{x - \pi/6} = -1/2 \sqrt{3}$.