lim x->3 (9-x^2)/(2 akar(x^2+3)-4 akar(3))=....

Nilai limitnya adalah -2√3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit berikut:
lim x->3 (9 - x^2) / (2 * sqrt(x^2 + 3) - 4 * sqrt(3))

Jika kita substitusikan x = 3 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Pembilang: 9 - 3^2 = 9 - 9 = 0
Penyebut: 2 * sqrt(3^2 + 3) - 4 * sqrt(3) = 2 * sqrt(12) - 4 * sqrt(3) = 2 * 2 * sqrt(3) - 4 * sqrt(3) = 4 * sqrt(3) - 4 * sqrt(3) = 0

Karena kita mendapatkan bentuk 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau mengalikan dengan akar sekawan.

Metode 1: Aturan L'Hopital
Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan pembilang (9 - x^2)' = -2x
Turunan penyebut (2 * sqrt(x^2 + 3) - 4 * sqrt(3))' = 2 * (1/2 * (x^2 + 3)^(-1/2) * 2x) = 2x / sqrt(x^2 + 3)

Sekarang, hitung limit dari hasil turunan:
lim x->3 (-2x) / (2x / sqrt(x^2 + 3))
= lim x->3 (-2x * sqrt(x^2 + 3)) / (2x)
= lim x->3 -sqrt(x^2 + 3)

Substitusikan x = 3:
-sqrt(3^2 + 3) = -sqrt(9 + 3) = -sqrt(12) = -2 * sqrt(3)

Metode 2: Mengalikan dengan Akar Sekawan
Kalikan pembilang dan penyebut dengan akar sekawan dari penyebut, yaitu (2 * sqrt(x^2 + 3) + 4 * sqrt(3)).

(9 - x^2) / (2 * sqrt(x^2 + 3) - 4 * sqrt(3)) * (2 * sqrt(x^2 + 3) + 4 * sqrt(3)) / (2 * sqrt(x^2 + 3) + 4 * sqrt(3))

= (9 - x^2) * (2 * sqrt(x^2 + 3) + 4 * sqrt(3)) / ((2 * sqrt(x^2 + 3))^2 - (4 * sqrt(3))^2)
= (9 - x^2) * (2 * sqrt(x^2 + 3) + 4 * sqrt(3)) / (4 * (x^2 + 3) - 16 * 3)
= (9 - x^2) * (2 * sqrt(x^2 + 3) + 4 * sqrt(3)) / (4x^2 + 12 - 48)
= (9 - x^2) * (2 * sqrt(x^2 + 3) + 4 * sqrt(3)) / (4x^2 - 36)
= (9 - x^2) * (2 * sqrt(x^2 + 3) + 4 * sqrt(3)) / (4 * (x^2 - 9))
= -(x^2 - 9) * (2 * sqrt(x^2 + 3) + 4 * sqrt(3)) / (4 * (x^2 - 9))

Cancel out (x^2 - 9):
= -(2 * sqrt(x^2 + 3) + 4 * sqrt(3)) / 4

Sekarang substitusikan x = 3:
= -(2 * sqrt(3^2 + 3) + 4 * sqrt(3)) / 4
= -(2 * sqrt(12) + 4 * sqrt(3)) / 4
= -(2 * 2 * sqrt(3) + 4 * sqrt(3)) / 4
= -(4 * sqrt(3) + 4 * sqrt(3)) / 4
= -(8 * sqrt(3)) / 4
= -2 * sqrt(3)

Jadi, nilai limitnya adalah -2 * sqrt(3).