Buktikan bahwa: n(n-1 k)=(k+1)(n k+1) >phi rho delta<

Terbukti dengan menggunakan definisi kombinasi dan manipulasi aljabar.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas $inom{n}{k} = rac{n-k+1}{k} inom{n}{k-1}$, kita mulai dari definisi kombinasi: $inom{n}{k} = rac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ruas Kiri: $inom{n}{k} = rac{n!}{k!(n-k)!}$

Ruas Kanan: $rac{n-k+1}{k} inom{n}{k-1}$
Kita tahu bahwa $inom{n}{k-1} = rac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} = rac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}$.
Jadi, $rac{n-k+1}{k} inom{n}{k-1} = rac{n-k+1}{k} 	imes rac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}$
$= rac{n-k+1}{k} 	imes rac{n!}{(k-1)!(n-k+1)(n-k)!}$
Kita bisa membatalkan $(n-k+1)$ di pembilang dan penyebut:
$= rac{1}{k} 	imes rac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$
Sekarang, kita tahu bahwa $k 	imes (k-1)! = k!$.
$= rac{n!}{k!(n-k)!}$

Karena Ruas Kiri = Ruas Kanan, maka identitas $inom{n}{k} = rac{n-k+1}{k} inom{n}{k-1}$ terbukti benar. (Catatan: Simbol "phi rho delta" dalam pertanyaan asli tampaknya tidak relevan dengan identitas kombinasi).