Buktikan bahwa p^(2n+1)+q^(2n+1) habis dibagi oleh p+q.

Terbukti dengan induksi matematika.

Pembahasan

Kita akan membuktikan bahwa p^(2n+1) + q^(2n+1) habis dibagi oleh p+q untuk n bilangan bulat positif, menggunakan Prinsip Induksi Matematika.

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Untuk n=1, kita perlu membuktikan bahwa p^(2(1)+1) + q^(2(1)+1) habis dibagi oleh p+q.
Ini berarti kita perlu membuktikan bahwa p^3 + q^3 habis dibagi oleh p+q.
Kita tahu bahwa p^3 + q^3 = (p+q)(p^2 - pq + q^2).
Karena p^3 + q^3 dapat dinyatakan sebagai hasil kali (p+q) dengan faktor lainnya, maka p^3 + q^3 habis dibagi oleh p+q.
Basis induksi benar.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k. Artinya, kita asumsikan bahwa p^(2k+1) + q^(2k+1) habis dibagi oleh p+q.
Ini berarti p^(2k+1) + q^(2k+1) = (p+q) * M, di mana M adalah suatu bilangan bulat.

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1. Artinya, kita perlu membuktikan bahwa p^(2(k+1)+1) + q^(2(k+1)+1) habis dibagi oleh p+q.
Ini berarti kita perlu membuktikan bahwa p^(2k+3) + q^(2k+3) habis dibagi oleh p+q.

Mari kita manipulasi ekspresi p^(2k+3) + q^(2k+3):

p^(2k+3) + q^(2k+3) = p^(2k+1) * p^2 + q^(2k+1) * q^2

Kita bisa menggunakan asumsi induksi. Untuk memunculkan suku p^(2k+1) + q^(2k+1), kita bisa mengalikan suku tersebut dengan p^2 atau q^2. Mari kita coba mengalikan dengan p^2:

p^(2k+3) + q^(2k+3) = p^2 * (p^(2k+1)) + q^2 * (q^(2k+1))

Kita tahu dari asumsi induksi bahwa p^(2k+1) = (p+q)M - q^(2k+1). Substitusikan ini:

= p^2 * ((p+q)M - q^(2k+1)) + q^2 * q^(2k+1)
= p^2(p+q)M - p^2 * q^(2k+1) + q^2 * q^(2k+1)
= p^2(p+q)M + q^(2k+1) * (q^2 - p^2)
= p^2(p+q)M + q^(2k+1) * (q-p)(q+p)

Sekarang, kita bisa mengeluarkan faktor (p+q):
= (p+q) * [p^2 * M + q^(2k+1) * (q-p)]

Karena p^2 * M + q^(2k+1) * (q-p) adalah hasil penjumlahan dan perkalian bilangan bulat, maka ekspresi di dalam kurung siku adalah bilangan bulat.
Oleh karena itu, p^(2k+3) + q^(2k+3) habis dibagi oleh p+q.

Dengan demikian, berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, terbukti bahwa p^(2n+1) + q^(2n+1) habis dibagi oleh p+q untuk semua bilangan bulat positif n.