Buktikan bahwa p^(2n)-q^(2n) habis dibagi oleh p+q Dalam

Menggunakan induksi matematika, terbukti bahwa p^(2n) - q^(2n) habis dibagi oleh p+q untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa p^(2n) - q^(2n) habis dibagi oleh p+q, kita dapat menggunakan Prinsip Induksi Matematika.

**Langkah 1: Basis Induksi (n=1)**
Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=1.
Untuk n=1, p^(2*1) - q^(2*1) = p^2 - q^2.
Kita tahu bahwa p^2 - q^2 dapat difaktorkan menjadi (p - q)(p + q).
Karena (p - q)(p + q) memiliki faktor (p+q), maka p^2 - q^2 habis dibagi oleh p+q.
Jadi, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

**Langkah 2: Langkah Induktif**
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu p^(2k) - q^(2k) habis dibagi oleh p+q.
Ini berarti kita dapat menulis p^(2k) - q^(2k) = (p+q) * m, di mana m adalah suatu bilangan bulat.

Sekarang, kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Yaitu, kita perlu menunjukkan bahwa p^(2(k+1)) - q^(2(k+1)) habis dibagi oleh p+q.

Perhatikan ekspresi untuk n = k+1:
p^(2(k+1)) - q^(2(k+1)) = p^(2k+2) - q^(2k+2)
= p^2 * p^(2k) - q^2 * q^(2k)

Kita dapat memanipulasi ekspresi ini agar sesuai dengan asumsi induktif kita (p^(2k) - q^(2k)). Mari kita tambahkan dan kurangkan suku q^2 * p^(2k):
= p^2 * p^(2k) - q^2 * q^(2k) + q^2 * p^(2k) - q^2 * p^(2k)
= p^2 * p^(2k) - q^2 * p^(2k) + q^2 * p^(2k) - q^2 * q^(2k)
= p^(2k) * (p^2 - q^2) + q^2 * (p^(2k) - q^(2k))

Kita tahu bahwa p^2 - q^2 = (p-q)(p+q), yang jelas habis dibagi oleh p+q.
Dari asumsi induktif, kita tahu bahwa p^(2k) - q^(2k) = (p+q) * m, yang juga habis dibagi oleh p+q.

Jadi, ekspresi tersebut dapat ditulis sebagai:
= p^(2k) * (p-q)(p+q) + q^2 * [(p+q) * m]
= (p+q) * [p^(2k)*(p-q) + q^2 * m]

Karena [p^(2k)*(p-q) + q^2 * m] adalah hasil penjumlahan dan perkalian bilangan bulat, maka ekspresi ini juga merupakan bilangan bulat.
Ini menunjukkan bahwa p^(2(k+1)) - q^(2(k+1)) habis dibagi oleh p+q.

**Kesimpulan:**
Berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 dan jika benar untuk n=k maka juga benar untuk n=k+1, maka pernyataan "p^(2n) - q^(2n) habis dibagi oleh p+q" adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n.