Buktikan bahwa segiempat dengan keliling K yang luasnya

Luas maksimum tercapai ketika segiempat tersebut berbentuk persegi, terbukti dengan kalkulus.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa segiempat dengan keliling K yang luasnya maksimum haruslah berupa persegi, kita dapat menggunakan prinsip kalkulus.

Misalkan panjang sisi segiempat adalah a dan b. Kelilingnya adalah K = 2a + 2b, dan luasnya adalah L = ab.
Dari persamaan keliling, kita dapat menyatakan b dalam bentuk a: b = (K - 2a) / 2 = K/2 - a.

Substitusikan ini ke dalam persamaan luas: L(a) = a(K/2 - a) = (K/2)a - a^2.

Untuk mencari luas maksimum, kita turunkan L(a) terhadap a dan setel turunannya sama dengan nol:
dL/da = K/2 - 2a.

Setel dL/da = 0: K/2 - 2a = 0 => 2a = K/2 => a = K/4.

Karena a = K/4, maka b = K/2 - K/4 = K/4.
Karena a = b = K/4, maka segiempat tersebut adalah persegi.

Untuk memastikan ini adalah maksimum, kita periksa turunan kedua: d^2L/da^2 = -2. Karena turunan kedua negatif, ini mengkonfirmasi bahwa nilai tersebut adalah maksimum.

Jadi, segiempat dengan keliling K yang luasnya maksimum adalah persegi.