Garis g sejajar garis y-2x=5 dan menyinggung kurva

Koordinat titik P adalah (2, -3).

Pembahasan

Garis \( g \) sejajar dengan garis \( y - 2x = 5 \). Gradien (kemiringan) dari garis \( y - 2x = 5 \) dapat ditemukan dengan menulis ulang persamaan dalam bentuk \( y = mx + c \), di mana \( m \) adalah gradien. Persamaan tersebut menjadi \( y = 2x + 5 \). Jadi, gradien garis \( g \) adalah \( m_g = 2 \).

Garis \( g \) menyinggung kurva \( f(x) = 2x^2 - 6x + 1 \). Titik singgung P memiliki koordinat \( (x_p, y_p) \). Gradien garis singgung pada suatu kurva di titik \( x \) diberikan oleh turunan pertama dari fungsi tersebut, \( f'(x) \).

Cari turunan dari \( f(x) \):
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 6x + 1) \)
\( f'(x) = 4x - 6 \).

Karena gradien garis \( g \) adalah 2, dan garis \( g \) menyinggung kurva di titik P, maka gradien kurva di titik P sama dengan gradien garis \( g \). Jadi:
\( f'(x_p) = 2 \)
\( 4x_p - 6 = 2 \)
\( 4x_p = 8 \)
\( x_p = 2 \).

Sekarang, cari koordinat \( y \) dari titik P dengan mensubstitusikan \( x_p = 2 \) ke dalam persamaan kurva \( f(x) \):
\( y_p = f(2) = 2(2)^2 - 6(2) + 1 \)
\( y_p = 2(4) - 12 + 1 \)
\( y_p = 8 - 12 + 1 \)
\( y_p = -3 \).

Jadi, koordinat titik P adalah (2, -3).