Buktikan bahwa:(tan theta-sin theta)/sin^2(theta)=tan

Identitas trigonometri terbukti benar dengan menyederhanakan kedua sisi dan menunjukkan kesamaan.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri \(\((\tan \theta - \sin \theta) / \sin^2 \theta) = \tan \theta / (1 + \cos \theta)\), kita akan mulai dari sisi kiri dan menyederhanakannya hingga setara dengan sisi kanan.

Sisi Kiri:
\((\tan \theta - \sin \theta) / \sin^2 \theta\)

Ubah \(\tan \theta\) menjadi \(\sin \theta / \cos \theta\):
\(((\sin \theta / \cos \theta) - \sin \theta) / \sin^2 \theta\)

Samakan penyebut di dalam kurung:
\(((\sin \theta - \sin \theta \cos \theta) / \cos \theta) / \sin^2 \theta\)

Kalikan dengan kebalikan dari \(\sin^2 \theta\):
\((\sin \theta - \sin \theta \cos \theta) / (\cos \theta \sin^2 \theta)\)

Faktorkan \(\sin \theta\) dari pembilang:
\(\sin \theta (1 - \cos \theta) / (\cos \theta \sin^2 \theta)\)

Batalkan satu \(\sin \theta\) di pembilang dan penyebut:
\((1 - \cos \theta) / (\cos \theta \sin \theta)\)

Sekarang kita ubah sisi kanan menjadi bentuk yang sama atau ubah sisi kanan untuk melihat apakah sama.

Sisi Kanan:
\(\tan \theta / (1 + \cos \theta)\)

Ubah \(\tan \theta\) menjadi \(\sin \theta / \cos \theta\):
\((\sin \theta / \cos \theta) / (1 + \cos \theta)\)

Kalikan dengan kebalikan dari \((1 + \cos \theta)\):
\(\sin \theta / (\cos \theta (1 + \cos \theta))\)

Sepertinya ada kesalahan dalam penyederhanaan sisi kiri atau soalnya. Mari kita coba sederhanakan sisi kiri lagi dengan cara yang berbeda.

Sisi Kiri:
\((\tan \theta - \sin \theta) / \sin^2 \theta\)

Faktorkan \(\sin \theta\) dari pembilang:
\(\sin \theta (\tan \theta / \sin \theta - 1) / \sin^2 \theta\)

\(\sin \theta (1 / \cos \theta - 1) / \sin^2 \theta\)

\((1 / \cos \theta - 1) / \sin \theta\)

\(( (1 - \cos \theta) / \cos \theta ) / \sin \theta\)

\((1 - \cos \theta) / (\cos \theta \sin \theta)\)

Sekarang mari kita manipulasi sisi kanan:

Sisi Kanan:
\(\tan \theta / (1 + \cos \theta)\)

\(\sin \theta / (\cos \theta (1 + \cos \theta))\)

Untuk membuat kedua sisi sama, kita perlu mengalikan sisi kanan dengan \((1 - \cos \theta) / (1 - \cos \theta)\) atau memanipulasi sisi kiri lebih lanjut.

Mari kita kembali ke penyederhanaan sisi kiri:
\((1 - \cos \theta) / (\cos \theta \sin \theta)\)

Kita tahu bahwa \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), sehingga \(\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}\).

Substitusikan ini ke sisi kiri:
\((1 - \cos \theta) / (\cos \theta \sqrt{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)})\)

Batalkan \((1 - \cos \theta)\):
\(1 / (\cos \theta \sqrt{(1 + \cos \theta) / (1 - \cos \theta)})\)

Ini masih belum sama dengan sisi kanan. Mari kita cek kembali soalnya.

Jika soalnya adalah membuktikan bahwa \((\tan \theta - \sin \theta) / \cos^2 \theta = \tan \theta / (1 - \cos \theta)\), mari kita coba buktikan itu.

Sisi Kiri:
\((\tan \theta - \sin \theta) / \cos^2 \theta\)

\(((\sin \theta / \cos \theta) - \sin \theta) / \cos^2 \theta\)

\(((\sin \theta - \sin \theta \cos \theta) / \cos \theta) / \cos^2 \theta\)

\(\sin \theta (1 - \cos \theta) / \cos^3 \theta\)

Sekarang sisi kanan:
\(\tan \theta / (1 - \cos \theta)\)

\(\sin \theta / (\cos \theta (1 - \cos \theta))\)

Ini juga tidak sama. Mari kita kembali ke soal asli dan coba cara lain.

Sisi Kiri:
\((\tan \theta - \sin \theta) / \sin^2 \theta\)

\(\tan \theta / \sin^2 \theta - \sin \theta / \sin^2 \theta\)

\(\tan \theta / \sin^2 \theta - 1 / \sin \theta\)

Kita tahu \(\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta = 1 + 1/\tan^2 \theta\) dan \(\csc \theta = 1 / \sin \theta\).

\(\tan \theta \csc^2 \theta - \csc \theta\)

\(\tan \theta (1 + \cot^2 \theta) - \csc \theta\)

\(\tan \theta + \tan \theta \cot^2 \theta - \csc \theta\)

\(\tan \theta + \cot \theta - \csc \theta\)

Sekarang sisi kanan:
\(\tan \theta / (1 + \cos \theta)\)

Untuk membuat kedua sisi sama, kita perlu menunjukkan bahwa \(\tan \theta + \cot \theta - \csc \theta = \tan \theta / (1 + \cos \theta)\).

Mari kita fokus pada sisi kanan dan coba manipulasi agar mirip sisi kiri.

Sisi Kanan:
\(\tan \theta / (1 + \cos \theta)\)

Kalikan pembilang dan penyebut dengan \((1 - \cos \theta)\):
\(\tan \theta (1 - \cos \theta) / ((1 + \cos \theta)(1 - \cos \theta))\)

\(\tan \theta (1 - \cos \theta) / (1 - \cos^2 \theta)\)

\(\tan \theta (1 - \cos \theta) / \sin^2 \theta\)

Ini masih belum sama dengan sisi kiri awal. Mari kita periksa kembali soalnya.

Kemungkinan ada kesalahan penulisan pada soal. Jika kita mengasumsikan soalnya adalah membuktikan bahwa \((\tan \theta - \sin \theta) / \sin^2 \theta = \cot \theta / (1 + \cos \theta)\) ", mari kita coba buktikan.

Sisi Kiri:
\((\tan \theta - \sin \theta) / \sin^2 \theta\)

\(( (1 - \cos \theta) / \cos \theta ) / \sin \theta\)

\((1 - \cos \theta) / (\cos \theta \sin \theta)\)

Sisi Kanan:
\(\cot \theta / (1 + \cos \theta)\)

\(\cos \theta / (\sin \theta (1 + \cos \theta))\)

Ini juga tidak sama.

Mari kita kembali ke soal asli dan coba metode lain.

Sisi Kiri:
\((\tan \theta - \sin \theta) / \sin^2 \theta\)

\(\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - \sin \theta}{\sin^2 \theta}\)

\(\frac{\sin \theta (\frac{1}{\cos \theta} - 1)}{\sin^2 \theta}\)

\(\frac{\sin \theta (\frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta})}{\sin^2 \theta}\)

\(\frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{\cos \theta \sin^2 \theta}\)

\(\frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta \sin \theta}\)

Sekarang, mari kita ubah \(\sin \theta\) menjadi \(\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\) di penyebut.

\(\frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\)

\(\frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta \sqrt{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}}\)

Batalkan \((1 - \cos \theta)\) dari pembilang dan penyebut:

\(\frac{1}{\cos \theta \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}}}\)

Sekarang mari kita lihat sisi kanan:
\(\tan \theta / (1 + \cos \theta)\)

\(\frac{\sin \theta}{\cos \theta (1 + \cos \theta)}\)

Untuk membuat kedua sisi sama, kita perlu menunjukkan bahwa \(\frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta (1 + \cos \theta)}\).

Kalikan kedua sisi dengan \(\cos \theta\):

\(\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}\)

Kalikan kedua sisi dengan \(\sin \theta (1 + \cos \theta)\):

\((1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta) = \sin^2 \theta\)

\(1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta\)

\(\sin^2 \theta = \sin^2 \theta\)

Ini adalah identitas yang benar. Oleh karena itu, pembuktian berhasil.

Langkah-langkah pembuktian:
1. Mulai dari sisi kiri: \((\tan \theta - \sin \theta) / \sin^2 \theta\)
2. Ubah \(\tan \theta\) menjadi \(\sin \theta / \cos \theta\).
3. Sederhanakan pembilang: \(\sin \theta (1 - \cos \theta) / \cos \theta\).
4. Gabungkan dengan penyebut: \(\sin \theta (1 - \cos \theta) / (\cos \theta \sin^2 \theta)\).
5. Batalkan \(\sin \theta\): \((1 - \cos \theta) / (\cos \theta \sin \theta)\).
6. Sekarang manipulasi sisi kanan: \(\tan \theta / (1 + \cos \theta)\).
7. Ubah \(\tan \theta\) menjadi \(\sin \theta / \cos \theta\).
8. Gabungkan dengan penyebut: \(\sin \theta / (\cos \theta (1 + \cos \theta))\).
9. Untuk membuktikan kesamaan, kita perlu menunjukkan bahwa \((1 - \cos \theta) / (\cos \theta \sin \theta) = \sin \theta / (\cos \theta (1 + \cos \theta))\).
10. Setelah melakukan perkalian silang dan penyederhanaan, kita mendapatkan \(1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta\), yang merupakan identitas trigonometri yang benar.

Jadi, terbukti bahwa \((\tan \theta - \sin \theta) / \sin^2 \theta = \tan \theta / (1 + \cos \theta)\).