Buktikan bahwa untuk sembarang segitiga ABC berlaku: a(b

Menggunakan aturan sinus dan kosinus, sisi kiri a(b cos C - c cos B) dapat disederhanakan menjadi b² - c², yang sama dengan sisi kanan.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri pada segitiga sembarang, kita dapat menggunakan aturan sinus dan aturan kosinus.

Aturan Sinus:
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R (di mana R adalah jari-jari lingkaran luar).
Dari sini, kita dapat menyatakan:
a = 2R sin A
b = 2R sin B
c = 2R sin C

Aturan Kosinus:
a² = b² + c² - 2bc cos A  => cos A = (b² + c² - a²)/(2bc)
b² = a² + c² - 2ac cos B  => cos B = (a² + c² - b²)/(2ac)
c² = a² + b² - 2ab cos C  => cos C = (a² + b² - c²)/(2ab)

Sekarang kita akan membuktikan sisi kiri dari persamaan yang diberikan: a(b cos C - c cos B).

Gantikan cos C dan cos B dengan rumus aturan kosinus:
cos C = (a² + b² - c²)/(2ab)
cos B = (a² + c² - b²)/(2ac)

a(b * [(a² + b² - c²)/(2ab)] - c * [(a² + c² - b²)/(2ac)])

Sederhanakan di dalam kurung:
a([(a² + b² - c²)/(2a)] - [(a² + c² - b²)/(2a)])

Karena penyebutnya sama, kita bisa menggabungkan pembilangnya:
a([(a² + b² - c² - (a² + c² - b²))/(2a)])

a([(a² + b² - c² - a² - c² + b²)/(2a)])

a([(2b² - 2c²)/(2a)])

Sederhanakan lebih lanjut:
a * [2(b² - c²)/(2a)]

Batalkan 'a' di pembilang dan penyebut, serta angka 2:
b² - c²

Hasilnya adalah b² - c², yang merupakan sisi kanan dari persamaan yang ingin dibuktikan.

Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, maka terbukti bahwa untuk sembarang segitiga ABC berlaku: a(b cos C - c cos B) = b² - c².