Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku:

Soal ini kemungkinan mengandung kesalahan penulisan dan tidak dapat dibuktikan seperti yang tertulis.

Pembahasan

Pembuktian ini menggunakan prinsip induksi matematika.
Langkah 1: Basis Induksi
Buktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Sisi kiri: (1 + 1/2) = 3/2
Sisi kanan: 5/2
Karena 3/2 < 5/2, maka pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu:
(1+1/2)(1/(1/(2^2)))...(1/(1/(2^k))) < 5/2
Atau dapat ditulis sebagai:
(1+1/2)(2²)...(2^k) < 5/2
(3/2)(2²)...(2^k) < 5/2

Langkah 3: Langkah Induksi
Buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1.
Kita perlu membuktikan bahwa:
(1+1/2)(1/(1/(2^2)))...(1/(1/(2^k)))(1/(1/(2^(k+1))))) < 5/2

Gunakan asumsi induksi: (3/2)(2²)...(2^k) < 5/2
Kalikan kedua sisi dengan (1/(1/(2^(k+1))))) = 2^(k+1):
(3/2)(2²)...(2^k) * 2^(k+1) < 5/2 * 2^(k+1)

Ini akan menjadi:
(3/2)(2²) * 2³ * ... * 2^k * 2^(k+1) < 5/2 * 2^(k+1)

Perlu klarifikasi pada soal bagian "...(1/(1/(2^n)))". Jika maksudnya adalah perkalian suku-suku:
Misal P(n) = (1+1/2) * (2²) * (2³) * ... * (2^n)
Bukan (1/(1/(2^n))). Jika benar seperti ini:

Suku pertama = 1 + 1/2 = 3/2
Suku kedua = 1 / (1 / (2^2)) = 2^2 = 4
Suku ketiga = 1 / (1 / (2^3)) = 2^3 = 8

Jika deretnya adalah:
(1+1/2) * 2^2 * 2^3 * ... * 2^n

Mari kita revisi interpretasi soalnya. Kemungkinan besar soalnya adalah:
Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku: (1+1/2) * (2²) * (2³) * ... * (2ⁿ) < 5/2

Ini jelas salah karena suku-sukunya terus bertambah besar.

Mari kita asumsikan bentuk soal yang benar adalah:
Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku: (1 + 1/2) * (1 + 1/2²) * (1 + 1/2³) * ... * (1 + 1/2ⁿ) < C (suatu konstanta).

Namun, berdasarkan format soal yang diberikan, "...(1/(1/(2^n)))", ini menyiratkan:
Suku ke-1 = 1 + 1/2 = 3/2
Suku ke-2 = 1 / (1 / (2^2)) = 2^2 = 4
Suku ke-3 = 1 / (1 / (2^3)) = 2^3 = 8

Jika ini adalah perkalian berulang:
P_n = (1+1/2) * (2^2) * (2^3) * ... * (2^n) = (3/2) * 2^(2+3+...+n)
Jumlah eksponen 2+3+...+n adalah jumlah deret aritmatika: (n-1)/2 * (2 + n) = (n² + n - 2)/2

P_n = (3/2) * 2^((n²+n-2)/2)

Untuk n=2: P_2 = (3/2) * 2^((4+2-2)/2) = (3/2) * 2^2 = (3/2)*4 = 6. Nilai 6 tidak < 5/2.

Ada kemungkinan besar kesalahan penulisan pada soal nomor 5.

Jika yang dimaksud adalah:
Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku: (1/2) * (1/4) * (1/8) * ... * (1/2^n) < 5/2

Ini adalah perkalian suku-suku deret geometri dengan a = 1/2 dan r = 1/2.
Sn = a(1-r^n) / (1-r)
Sn = (1/2)(1 - (1/2)^n) / (1 - 1/2)
Sn = (1/2)(1 - (1/2)^n) / (1/2)
Sn = 1 - (1/2)^n
Karena (1/2)^n selalu positif dan mengecil seiring n bertambah, maka Sn akan selalu kurang dari 1. Dan 1 < 5/2.

Namun, soalnya tertulis "(1+1/2)(1/(1/(2^2)))...(1/(1/(2^n))) < 5/2".

Mari kita coba interpretasi lain:
Suku ke-1 = 1 + 1/2 = 3/2
Suku ke-2 = 1 / (1 / (2^2)) = 4
Suku ke-3 = 1 / (1 / (2^3)) = 8
...
Suku ke-n = 2^n

Perkalian: (3/2) * 4 * 8 * ... * 2^n
Ini adalah (3/2) * 2^2 * 2^3 * ... * 2^n = (3/2) * 2^(2+3+...+n)
Seperti yang sudah dihitung, ini tidak kurang dari 5/2 untuk n > 1.

Karena soal ini tampaknya mengandung kesalahan penulisan atau konsep yang membingungkan, saya tidak dapat memberikan bukti yang valid berdasarkan teks yang diberikan. Jika ada klarifikasi atau koreksi terhadap soal nomor 5, saya akan dengan senang hati mencoba menyelesaikannya.