Pada limas tegak T.ABCD, alas ABCD adalah persegi panjang

tan a = 8/15

Pembahasan

Untuk mencari nilai tan a pada limas tegak T.ABCD dengan alas persegi panjang AB=8 cm, BC=6 cm, dan TA=TB=TC=TD=13 cm, di mana a adalah sudut antara bidang TAB dan TCD, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1.  **Visualisasi Limas:** Bayangkan limas dengan alas persegi panjang ABCD dan puncak T. Bidang TAB adalah sisi tegak yang dibentuk oleh rusuk TA, TB, dan alas AB. Bidang TCD adalah sisi tegak yang dibentuk oleh rusuk TC, TD, dan alas CD.

2.  **Menentukan Garis Perpotongan:** Kedua bidang tersebut berpotongan pada garis yang sejajar dengan AB dan CD. Karena alasnya persegi panjang, maka AB sejajar dengan CD.

3.  **Mencari Tinggi Segitiga:**
    *   Misalkan M adalah titik tengah AB dan N adalah titik tengah CD. Maka TM tegak lurus AB dan TN tegak lurus CD.
    *   Dalam segitiga siku-siku TAM (dengan sudut A = 90 derajat), kita bisa mencari TM menggunakan teorema Pythagoras: $TM^2 = TA^2 - AM^2$. Karena AB = 8 cm, maka AM = 4 cm. Jadi, $TM^2 = 13^2 - 4^2 = 169 - 16 = 153$. Maka $TM = \sqrt{153} = 9\sqrt{1.89}$ cm.
    *   Karena alasnya persegi panjang dan limasnya tegak, maka TN juga memiliki panjang yang sama dengan TM, yaitu $TN = 9\sqrt{1.89}$ cm.

4.  **Mencari Tinggi Limas (jika diperlukan):** Jika O adalah pusat alas, maka TO adalah tinggi limas. Dalam segitiga siku-siku TOA, $TO^2 = TA^2 - OA^2$. Diagonal AC dapat dicari dengan Pythagoras pada segitiga ABC: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$. Maka $AC = 10$ cm. Jari-jari lingkaran luar alas (OA) adalah setengah diagonal, jadi $OA = 5$ cm. Maka $TO^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$. Jadi, $TO = 12$ cm.

5.  **Mencari Jarak Antara AB dan CD pada Bidang yang Tegak Lurus:** Jarak antara rusuk AB dan CD pada bidang yang tegak lurus dengan keduanya adalah BC = 6 cm. Titik tengah BC kita sebut P, dan titik tengah AD kita sebut Q. Maka PQ = AB = 8 cm, dan BC = AD = 6 cm. Titik O berada di tengah PQRS.

6.  **Menentukan Sudut a:** Sudut a adalah sudut antara TM dan TN. Untuk mencari nilai a, kita perlu mencari panjang MN. MN adalah jarak antara titik tengah AB dan titik tengah CD. Ini sama dengan panjang sisi BC, yaitu 6 cm.

7.  **Menggunakan Aturan Kosinus pada Segitiga TMN:** Segitiga TMN memiliki sisi TM = $9\sqrt{1.89}$, TN = $9\sqrt{1.89}$, dan MN = 6 cm.
    Menggunakan aturan kosinus: $MN^2 = TM^2 + TN^2 - 2 \cdot TM \cdot TN \cdot \cos a$
    $6^2 = (9\sqrt{1.89})^2 + (9\sqrt{1.89})^2 - 2 \cdot (9\sqrt{1.89}) \cdot (9\sqrt{1.89}) \cdot \cos a$
    $36 = 153 + 153 - 2 \cdot 153 \cdot \cos a$
    $36 = 306 - 306 \cos a$
    $306 \cos a = 306 - 36$
    $306 \cos a = 270$
    $\cos a = \frac{270}{306} = \frac{135}{153} = \frac{45}{51} = \frac{15}{17}$

8.  **Mencari tan a:** Jika $\cos a = \frac{15}{17}$, kita bisa menggunakan identitas $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ atau membuat segitiga siku-siku. Jika cos = samping/miring = 15/17, maka sisi depan adalah $\sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$.
    Maka $\sin a = \frac{8}{17}$.
    $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{8/17}{15/17} = \frac{8}{15}$