Buktikan dengan induksi matematika. 1^3+3^3+5^3+ ...

Pernyataan terbukti benar untuk n=1. Dengan asumsi pernyataan benar untuk n=k, maka dapat dibuktikan juga benar untuk n=k+1 menggunakan aljabar.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan \"1^3+3^3+5^3+ ... +(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)\" dengan induksi matematika, kita akan melalui dua langkah utama:

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Substitusikan n=1 ke dalam kedua sisi persamaan:
Sisi kiri: 1^3 = 1
Sisi kanan: 1^2(2(1)^2-1) = 1(2(1)-1) = 1(2-1) = 1(1) = 1
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan (1 = 1), maka pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Langkah Induktif
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
1^3+3^3+5^3+ ... +(2k-1)^3 = k^2(2k^2-1)  ...(Persamaan 1)

Sekarang, kita harus membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1. Artinya, kita harus menunjukkan bahwa:
1^3+3^3+5^3+ ... +(2k-1)^3+(2(k+1)-1)^3 = (k+1)^2(2(k+1)^2-1)

Mari kita mulai dari sisi kiri Persamaan 2 dan gunakan Persamaan 1:
[1^3+3^3+5^3+ ... +(2k-1)^3] + (2(k+1)-1)^3
= k^2(2k^2-1) + (2k+2-1)^3  (Menggunakan Persamaan 1)
= k^2(2k^2-1) + (2k+1)^3
= 2k^4 - k^2 + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1)  (Menguraikan (2k+1)^3)
= 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1

Sekarang, mari kita uraikan sisi kanan Persamaan 2:
(k+1)^2(2(k+1)^2-1)
= (k^2+2k+1)(2(k^2+2k+1)-1)
= (k^2+2k+1)(2k^2+4k+2-1)
= (k^2+2k+1)(2k^2+4k+1)
= k^2(2k^2+4k+1) + 2k(2k^2+4k+1) + 1(2k^2+4k+1)
= (2k^4+4k^3+k^2) + (4k^3+8k^2+2k) + (2k^2+4k+1)
= 2k^4 + (4k^3+4k^3) + (k^2+8k^2+2k^2) + (2k+4k) + 1
= 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1

Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, maka pernyataan tersebut benar untuk n=k+1.

Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 1^3+3^3+5^3+ ... +(2n-1)^3=n^2(2n^2-1) benar untuk semua bilangan bulat positif n.