Buktikan dengan induksi matematika pernyataan: Pn ekuivalen

Pembuktian dilakukan dengan basis induksi, asumsi induksi, dan langkah induksi, yang menunjukkan kebenaran pernyataan untuk semua n.

Pembahasan

Pembuktian induksi matematika untuk Pn: Σ(i=1 s/d n) 4^(i-1) = 1/3(4^n - 1)

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Untuk n=1, ruas kiri: Σ(i=1 s/d 1) 4^(i-1) = 4^(1-1) = 4^0 = 1.
Ruas kanan: 1/3(4^1 - 1) = 1/3(4 - 1) = 1/3(3) = 1.
Karena ruas kiri = ruas kanan, maka P(1) benar.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Asumsikan P(k) benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
Σ(i=1 s/d k) 4^(i-1) = 1/3(4^k - 1)

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita harus membuktikan bahwa P(k+1) benar, yaitu:
Σ(i=1 s/d k+1) 4^(i-1) = 1/3(4^(k+1) - 1)

Ruas kiri P(k+1):
Σ(i=1 s/d k+1) 4^(i-1) = [Σ(i=1 s/d k) 4^(i-1)] + 4^((k+1)-1)
                            = [Σ(i=1 s/d k) 4^(i-1)] + 4^k

Substitusikan hasil dari Asumsi Induksi:
                            = [1/3(4^k - 1)] + 4^k
                            = 1/3 * 4^k - 1/3 + 4^k
Untuk menjumlahkan, samakan penyebutnya:
                            = 1/3 * 4^k - 1/3 + 3/3 * 4^k
                            = (1 * 4^k - 1 + 3 * 4^k) / 3
                            = (4 * 4^k - 1) / 3
                            = (4^(k+1) - 1) / 3
                            = 1/3(4^(k+1) - 1)

Ruas kanan P(k+1) adalah 1/3(4^(k+1) - 1).
Karena ruas kiri = ruas kanan, maka P(k+1) benar.

Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan Pn ekuivalen sigma i=1 n 4^(i-1) = 1/3(4^n - 1) adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n.