buktikan dengan induksi matematika. Pn ekuivalen

Pernyataan soal tidak dapat dibuktikan karena rumus yang diberikan kemungkinan salah. Pembuktian induksi matematika melibatkan basis induksi dan langkah induksi, namun kesetaraan pada langkah induksi tidak tercapai dengan rumus tersebut.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan P(n) dengan induksi matematika, kita perlu melakukan dua langkah utama:

1.  **Basis Induksi:** Tunjukkan bahwa pernyataan P(n) benar untuk nilai n terkecil (biasanya n=1).
    Untuk n=1:
    Ruas kiri = 1/(1.2.3) = 1/6
    Ruas kanan = (1(1+3))/((1+1)(4(1)+8)) = (1*4)/(2*(4+8)) = 4/(2*12) = 4/24 = 1/6
    Karena ruas kiri = ruas kanan, maka P(1) benar.

2.  **Langkah Induksi:** Asumsikan bahwa pernyataan P(k) benar untuk suatu bilangan asli k. Kemudian, buktikan bahwa P(k+1) juga benar.
    Asumsikan P(k) benar:
    1/(1.2.3) + 1/(2.3.4) + ... + 1/(k(k+1)(k+2)) = k(k+3) / ((k+1)(4k+8))

    Buktikan P(k+1) benar:
    1/(1.2.3) + 1/(2.3.4) + ... + 1/(k(k+1)(k+2)) + 1/((k+1)(k+2)(k+3)) = (k+1)((k+1)+3) / (((k+1)+1)(4(k+1)+8))
    Ruas kiri P(k+1) = [k(k+3) / ((k+1)(4k+8))] + 1/((k+1)(k+2)(k+3))
    Samakan penyebutnya:
    = [k(k+3)(k+2)(k+3) + (k+1)(4k+8)] / [(k+1)(k+2)(k+3)(4k+8)]
    = [k(k+3)^2(k+2) + 4(k+1)^2(k+2)] / [(k+1)(k+2)(k+3)4(k+2)]
    = [(k+2) * {k(k^2+6k+9) + 4(k^2+2k+1)}] / [(k+1)(k+2)(k+3)4(k+2)]
    = [k^3+6k^2+9k + 4k^2+8k+4] / [4(k+1)(k+2)^2(k+3)]
    = [k^3+10k^2+17k+4] / [4(k+1)(k+2)^2(k+3)]

    Sekarang kita lihat ruas kanan P(k+1):
    Ruas kanan = (k+1)(k+4) / ((k+2)(4k+12)) = (k+1)(k+4) / (4(k+2)(k+3))

    Perlu disederhanakan lagi bagian ruas kiri.
    Dari asumsi awal, 1/(n(n+1)(n+2)) dapat dipecah menggunakan pecahan parsial:
    1/(n(n+1)(n+2)) = A/n + B/(n+1) + C/(n+2)
    1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)
    Jika n=0, 1 = A(1)(2) => A=1/2
    Jika n=-1, 1 = B(-1)(1) => B=-1
    Jika n=-2, 1 = C(-2)(-1) => C=1/2
    Jadi, 1/(n(n+1)(n+2)) = 1/(2n) - 1/(n+1) + 1/(2(n+2))

    Jumlah deretnya menjadi:
    (1/2 * 1/1 - 1/2 + 1/2 * 1/3) + (1/2 * 1/2 - 1/3 + 1/2 * 1/4) + ... + (1/2 * 1/n - 1/(n+1) + 1/2 * 1/(n+2))
    Ini adalah deret teleskopik yang disederhanakan menjadi:
    1/2 * (1/1 + 1/2) - 1/2 * (1/(n+1) + 1/(n+2))
    = 1/2 * (3/2) - 1/2 * ((n+2+n+1)/((n+1)(n+2)))
    = 3/4 - 1/2 * ((2n+3)/((n+1)(n+2)))
    = (3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)) / (4(n+1)(n+2))
    = (3(n^2+3n+2) - 4n - 6) / (4(n+1)(n+2))
    = (3n^2+9n+6 - 4n - 6) / (4(n+1)(n+2))
    = (3n^2+5n) / (4(n+1)(n+2))
    = n(3n+5) / (4(n+1)(n+2))

    Mari kita cek kembali target soal: (n(n+3))/((n+1)(4n+8)) = n(n+3) / (4(n+1)(n+2))
    Ternyata ada perbedaan antara hasil penjabaran dengan rumus yang diberikan soal.
    Mari kita coba pembuktiannya dengan menyamakan ruas kanan soal dengan hasil penjabaran yang benar.

    Jika kita menganggap rumus soal benar, maka P(k+1) seharusnya:
    Ruas kanan = ((k+1)((k+1)+3)) / (((k+1)+1)(4(k+1)+8))
    = (k+1)(k+4) / ((k+2)(4k+4+8))
    = (k+1)(k+4) / ((k+2)(4k+12))
    = (k+1)(k+4) / (4(k+2)(k+3))

    Mari kita coba samakan ruas kiri P(k+1) dengan bentuk target ruas kanan P(k+1).
    Ruas kiri P(k+1) = k(k+3) / ((k+1)(4k+8)) + 1/((k+1)(k+2)(k+3))
    = [k(k+3)(k+2)(k+3) + 4(k+1)(k+2)] / [(k+1)(k+2)(k+3)4(k+2)]
    = [k(k+3)^2(k+2) + 4(k+1)(k+2)] / [4(k+1)(k+2)^2(k+3)]
    = (k+2)[k(k+3)^2 + 4(k+1)] / [4(k+1)(k+2)^2(k+3)]
    = [k(k^2+6k+9) + 4k+4] / [4(k+1)(k+2)(k+3)]
    = [k^3+6k^2+9k + 4k+4] / [4(k+1)(k+2)(k+3)]
    = [k^3+6k^2+13k+4] / [4(k+1)(k+2)(k+3)]

    Mari kita cek hasil ruas kanan P(k+1) lagi: (k+1)(k+4) / (4(k+2)(k+3)) = (k^2+5k+4) / (4(k+2)(k+3))

    Ada kemungkinan rumus pada soal salah, karena hasil penyederhanaan deret menghasilkan n(3n+5)/(4(n+1)(n+2)). Jika kita substitusi n=1 ke rumus ini, hasilnya 1(3(1)+5)/(4(1+1)(1+2)) = 8/(4*2*3) = 8/24 = 1/3. Namun, hasil basis induksi di atas adalah 1/6.
    
    Mari kita gunakan hasil penjabaran deret yang benar: 1/(1.2.3) + ... + 1/(n(n+1)(n+2)) = n(3n+5)/(4(n+1)(n+2)).
    Buktikan P(k+1) benar menggunakan hasil ini:
    Ruas kiri P(k+1) = [k(3k+5)/(4(k+1)(k+2))] + 1/((k+1)(k+2)(k+3))
    = [k(3k+5)(k+3) + 4] / [4(k+1)(k+2)(k+3)]
    = [k(3k^2+9k+5k+15) + 4] / [4(k+1)(k+2)(k+3)]
    = [3k^3+14k^2+15k + 4] / [4(k+1)(k+2)(k+3)]
    
    Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa ruas kanan target P(k+1) jika kita gunakan rumus n(3n+5)/(4(n+1)(n+2)) adalah sama dengan hasil di atas.
    Ruas kanan P(k+1) = (k+1)(3(k+1)+5) / (4(k+1+1)(k+1+2))
    = (k+1)(3k+3+5) / (4(k+2)(k+3))
    = (k+1)(3k+8) / (4(k+2)(k+3))
    = (3k^2+8k+3k+8) / (4(k+2)(k+3))
    = (3k^2+11k+8) / (4(k+2)(k+3))

    Kedua ruas tidak sama, yang mengindikasikan bahwa soal asli dengan rumus yang diberikan kemungkinan besar salah.
    Namun, jika kita harus menjawab berdasarkan soal yang diberikan, langkah-langkah induksi tetap sama, hanya saja pembuktian kesetaraan pada langkah induksi yang akan gagal jika rumusnya salah.

    Kesimpulan: Pernyataan soal tidak dapat dibuktikan dengan rumus yang diberikan karena rumus tersebut kemungkinan salah.