Titik P terletak pada garis AB. Koordinat titik A(11,3,-2)

(8, 6, 1)

Pembahasan

Untuk mencari koordinat titik P, kita gunakan perbandingan vektor pada garis AB.

Diketahui:
Koordinat A = (11, 3, -2)
Koordinat B = (6, 8, 3)
Perbandingan AB:BP = 5:-2

Ini berarti titik P membagi garis AB di dalam dengan perbandingan 5 : (5 - (-2)) = 5 : 7, atau jika kita melihat vektor AP dan PB, maka $\vec{AP} = \frac{5}{3}\vec{PB}$.

Cara lain adalah menggunakan rumus pembagian ruas garis:
Jika titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan m:n, maka:
$P = \frac{n A + m B}{m + n}$

Dalam kasus ini, karena perbandingannya AB:BP = 5:-2, kita bisa melihatnya sebagai titik P membagi ruas garis AB sehingga AP berbanding PB adalah 5 : (5-2) = 5:3. Namun, tanda negatif pada -2 menunjukkan arah yang berlawanan. Jika kita gunakan definisi $\vec{AP} = \frac{m}{n} \vec{PB}$, maka $\vec{AP} = \frac{5}{-2} \vec{PB}$. Ini berarti P berada di luar segmen AB.

Mari kita gunakan vektor:
$\vec{AB} = B - A = (6-11, 8-3, 3-(-2)) = (-5, 5, 5)$

Karena AB:BP = 5:-2, ini berarti $\frac{\vec{AB}}{\vec{BP}} = \frac{5}{-2}$.
Ini juga berarti $\vec{BP} = -\frac{2}{5} \vec{AB}$.

$P - B = -\frac{2}{5} (B - A)$
$P = B - \frac{2}{5} (B - A)$
$P = B - \frac{2}{5} B + \frac{2}{5} A$
$P = \frac{3}{5} B + \frac{2}{5} A$

$P = \frac{3}{5} (6, 8, 3) + \frac{2}{5} (11, 3, -2)$
$P = (\frac{18}{5}, \frac{24}{5}, \frac{9}{5}) + (\frac{22}{5}, \frac{6}{5}, -\frac{4}{5})$
$P = (\frac{18+22}{5}, \frac{24+6}{5}, \frac{9-4}{5})$
$P = (\frac{40}{5}, \frac{30}{5}, \frac{5}{5})$
$P = (8, 6, 1)$

Jadi, koordinat titik P adalah (8, 6, 1).