Buktikan dengan prinsip induksi matematika sigma i=1 n 3/n

Pembuktian induksi matematika untuk persamaan yang diberikan tampaknya memiliki ketidaksesuaian atau kesalahan penulisan pada soal.

Pembahasan

Jawaban untuk Soal #5:

Kita akan membuktikan pernyataan $\sum_{i=1}^{n} \frac{3}{n} [(\frac{i}{n})^2 + 1] = \frac{(n+1)(2n+1)}{2n^2} + 3$ menggunakan prinsip induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Untuk n=1, sisi kiri (SK) dan sisi kanan (SKa) harus sama.

SK = $\sum_{i=1}^{1} \frac{3}{1} [(\frac{i}{1})^2 + 1]$
SK = $3 * [(\frac{1}{1})^2 + 1]$
SK = $3 * [1 + 1]$
SK = $3 * 2$
SK = 6

SKa = $\frac{(1+1)(2*1+1)}{2(1)^2} + 3$
SKa = $\frac{(2)(3)}{2} + 3$
SKa = $3 + 3$
SKa = 6

Karena SK = SKa, maka pernyataan benar untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan pernyataan benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
$\sum_{i=1}^{k} \frac{3}{k} [(\frac{i}{k})^2 + 1] = \frac{(k+1)(2k+1)}{2k^2} + 3$

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita harus membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1.

SK (untuk n=k+1) = $\sum_{i=1}^{k+1} \frac{3}{k+1} [(\frac{i}{k+1})^2 + 1]$

Ini adalah bagian yang rumit karena bentuk sigma berubah. Mari kita tinjau ulang soalnya. Soal ini tampaknya merupakan soal kalkulus integral Riemann yang menghampiri integral $\int_{0}^{1} 3(x^2+1) dx$. Mari kita hitung integralnya:
$\int_{0}^{1} 3(x^2+1) dx = \int_{0}^{1} (3x^2+3) dx$
= $[x^3 + 3x]_{0}^{1}$
= $(1^3 + 3*1) - (0^3 + 3*0)$
= $(1 + 3) - 0$
= 4

Sekarang mari kita evaluasi sisi kanan dari soal induksi yang diberikan untuk n=1:
SKa = $\frac{(1+1)(2*1+1)}{2(1)^2} + 3 = \frac{2*3}{2} + 3 = 3 + 3 = 6$.

Ada ketidaksesuaian antara hasil integral (4) dan hasil evaluasi sisi kanan pada n=1 (6). Mari kita periksa kembali asumsi soal atau cara penyelesaian induksi untuk bentuk sigma ini.

Jika soal tersebut memang dimaksudkan untuk dibuktikan dengan induksi, ada kesalahan dalam persamaan yang diberikan atau dalam pemahaman soal.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa soal tersebut adalah aproksimasi integral menggunakan jumlah Riemann dan ingin ditunjukkan bahwa ekspresi tersebut mendekati nilai integral, maka perhitungan integralnya adalah 4.

Jika kita harus melanjutkan pembuktian induksi berdasarkan persamaan yang ada:

SK = $\sum_{i=1}^{k+1} \frac{3}{k+1} [(\frac{i}{k+1})^2 + 1]$
Ini tidak secara langsung berhubungan dengan hipotesis induksi karena pembagi 'n' di depan sigma berubah dari k menjadi k+1.

Kemungkinan besar ada kesalahan penulisan dalam soal, di mana seharusnya '3' di depan sigma, bukan '3/n', atau 'n' di dalam sigma seharusnya konstan.

Misalkan soalnya adalah: Buktikan dengan induksi matematika $\sum_{i=1}^{n} \frac{3}{n} [(\frac{i}{n})^2 + 1] = \frac{(n+1)(2n+1)}{2n^2} + 3$. Maka:
SK (untuk n=k+1) = $\sum_{i=1}^{k+1} \frac{3}{k+1} [(\frac{i}{k+1})^2 + 1] = \frac{3}{k+1} \sum_{i=1}^{k+1} [\frac{i^2}{(k+1)^2} + 1]$
Ini masih sangat sulit untuk dihubungkan dengan hipotesis induksi.

Jika kita mengabaikan proses induksi dan langsung menghitung sisi kanan untuk n=1, hasilnya adalah 6. Sisi kiri untuk n=1 adalah 6. Jadi, basis induksi terpenuhi.

Namun, pembuktian langkah induksi membutuhkan manipulasi aljabar yang rumit dan kemungkinan besar ada kesalahan pada soal asli yang diberikan untuk pembuktian induksi.