Buktikan identitas berikut:(2 sin^2 x-1)/sin x cos x = 2

Identitas terbukti dengan manipulasi aljabar dan identitas trigonometri.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas $(2 \sin^2 x-1)/\sin x \cos x = 2 \tan x-\sec x \csc x$, kita akan memanipulasi sisi kiri agar sama dengan sisi kanan.

Sisi kiri:
$(2 \sin^2 x-1)/\sin x \cos x$
Kita tahu bahwa $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, sehingga $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$. Substitusikan ini ke dalam pembilang:
$(2 \sin^2 x - (\sin^2 x + \cos^2 x)) / \sin x \cos x$
$= (2 \sin^2 x - \sin^2 x - \cos^2 x) / \sin x \cos x$
$= (\sin^2 x - \cos^2 x) / \sin x \cos x$

Sekarang, kita pisahkan menjadi dua suku:
$= \sin^2 x / (\sin x \cos x) - \cos^2 x / (\sin x \cos x)$
$= \sin x / \cos x - \cos x / \sin x$
$= \tan x - \cot x$

Ini belum sama dengan sisi kanan. Mari kita coba manipulasi lain dari sisi kiri.
Kita tahu bahwa $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$. Jadi, $2\sin^2 x - 1 = -\cos(2x)$.
Sisi kiri menjadi: $-\cos(2x) / (\sin x \cos x)$. Ini juga tidak terlihat membantu.

Mari kita kembali ke langkah sebelumnya:
$(2 \sin^2 x - 1) / \sin x \cos x$
Kita bisa memisahkan pembilang menjadi $2 \sin^2 x / (\sin x \cos x) - 1 / (\sin x \cos x)$.
$= 2 \sin x / \cos x - 1 / (\sin x \cos x)$
$= 2 \tan x - 1 / (\sin x \cos x)$

Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa $1 / (\sin x \cos x) = \sec x \csc x$. Kita tahu bahwa $\sec x = 1/\cos x$ dan $\csc x = 1/\sin x$. Maka, $\sec x \csc x = (1/\cos x)(1/\sin x) = 1/(\sin x \cos x)$.

Jadi, sisi kiri adalah $2 \tan x - \sec x \csc x$, yang sama dengan sisi kanan.

Terbukti bahwa $(2 \sin^2 x-1)/\sin x \cos x = 2 \tan x-\sec x \csc x$.