Buktikan identitas berikut ini.(1-sin theta)/(cos

Identitas terbukti dengan menyederhanakan sisi kiri menjadi \(2 \sec\theta\).

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas \((1-\sin\theta)/(\cos\theta) + (\cos\theta)/(1-\sin\theta) = 2 \sec\theta\), kita akan menyederhanakan sisi kiri identitas tersebut.\n\nSisi Kiri = \(\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}\)\n\nUntuk menjumlahkan kedua pecahan tersebut, kita cari KPK dari penyebutnya, yaitu \(\cos\theta(1-\sin\theta)\).\n\n= \(\frac{(1-\sin\theta)(1-\sin\theta)}{\cos\theta(1-\sin\theta)} + \frac{\cos\theta \cdot \cos\theta}{\cos\theta(1-\sin\theta)}\)\n\n= \(\frac{(1-\sin\theta)^2 + \cos^2\theta}{\cos\theta(1-\sin\theta)}\)\n\nSekarang, kita jabarkan \((1-\sin\theta)^2\):\n\n= \(\frac{1 - 2\sin\theta + \sin^2\theta + \cos^2\theta}{\cos\theta(1-\sin\theta)}\)\n\nKita tahu dari identitas Pythagoras bahwa \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\). Substitusikan ini ke dalam persamaan:\n\n= \(\frac{1 - 2\sin\theta + 1}{\cos\theta(1-\sin\theta)}\)\n\n= \(\frac{2 - 2\sin\theta}{\cos\theta(1-\sin\theta)}\)\n\nFaktorkan 2 dari pembilang:\n\n= \(\frac{2(1-\sin\theta)}{\cos\theta(1-\sin\theta)}\)\n\nKita bisa membatalkan \((1-\sin\theta)\) dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi \(\sin\theta \neq 1\)):\n\n= \(\frac{2}{\cos\theta}\)\n\nKita tahu bahwa \(\sec\theta = 1/\cos\theta\). Jadi:\n\n= \(2 \sec\theta\)\n\nKarena sisi kiri sama dengan sisi kanan, identitas tersebut terbukti benar.