Buktikan identitas berikut! tan^2 a.csc^2 a - (cot^2

Identitas terbukti benar.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri tan^2 a.csc^2 a - (cot^2 a/csc^2 a) - tan^2 a = sin^2 a, kita akan menyederhanakan sisi kiri identitas.

Sisi Kiri = tan^2 a * csc^2 a - (cot^2 a / csc^2 a) - tan^2 a

Kita akan menggunakan identitas dasar:
tan a = sin a / cos a
csc a = 1 / sin a
cot a = cos a / sin a

Ganti ekspresi dengan identitas dasar:

Bagian 1: tan^2 a * csc^2 a
= (sin^2 a / cos^2 a) * (1 / sin^2 a)
= 1 / cos^2 a
= sec^2 a

Bagian 2: cot^2 a / csc^2 a
= (cos^2 a / sin^2 a) / (1 / sin^2 a)
= (cos^2 a / sin^2 a) * (sin^2 a / 1)
= cos^2 a

Sekarang substitusikan kembali ke sisi kiri:

Sisi Kiri = sec^2 a - cos^2 a - tan^2 a

Kita tahu bahwa sec^2 a = 1 + tan^2 a.
Gunakan identitas ini:

Sisi Kiri = (1 + tan^2 a) - cos^2 a - tan^2 a
Sisi Kiri = 1 + tan^2 a - cos^2 a - tan^2 a
Sisi Kiri = 1 - cos^2 a

Kita tahu identitas trigonometri dasar: sin^2 a + cos^2 a = 1. Maka, 1 - cos^2 a = sin^2 a.

Sisi Kiri = sin^2 a

Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan (sin^2 a), maka identitas tersebut terbukti benar.

Jawaban: Identitas terbukti benar.