Buktikan identitas (sin x + sin 3x + sin 5x)/(cos x + cos

Identitas terbukti dengan menggunakan rumus penjumlahan trigonometri dan penyederhanaan aljabar.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas \((sin x + sin 3x + sin 5x)/(cos x + cos 3x + cos 5x)=tan 3x\), kita dapat menggunakan rumus penjumlahan trigonometri. 

Langkah 1: Kelompokkan suku-suku pada pembilang dan penyebut.
Pembilang: \(sin x + sin 5x + sin 3x\)
Penyebut: \(cos x + cos 5x + cos 3x\)

Langkah 2: Gunakan rumus \(sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)\) dan \(cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)\).

Untuk pembilang:
\(sin x + sin 5x = 2 sin((x+5x)/2) cos((x-5x)/2) = 2 sin 3x cos(-2x) = 2 sin 3x cos 2x\) (karena cos adalah fungsi genap, cos(-u) = cos u).
Jadi, pembilang menjadi: \(2 sin 3x cos 2x + sin 3x = sin 3x (2 cos 2x + 1)\).

Untuk penyebut:
\(cos x + cos 5x = 2 cos((x+5x)/2) cos((x-5x)/2) = 2 cos 3x cos(-2x) = 2 cos 3x cos 2x\).
Jadi, penyebut menjadi: \(2 cos 3x cos 2x + cos 3x = cos 3x (2 cos 2x + 1)\).

Langkah 3: Substitusikan kembali ke dalam identitas.
\((sin 3x (2 cos 2x + 1))/(cos 3x (2 cos 2x + 1))\)

Langkah 4: Sederhanakan.
Dengan asumsi \(2 cos 2x + 1 \neq 0\), kita dapat membatalkan faktor tersebut.
\(sin 3x / cos 3x = tan 3x\).

Identitas terbukti.