Buktikan menggunakan induksi matematika. 11^n-6 habis

Terbukti bahwa 11^n - 6 habis dibagi 5 untuk setiap bilangan asli n menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 11^n - 6 habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan asli menggunakan induksi matematika, kita perlu melakukan dua langkah:

Langkah 1: Basis Induksi
Buktikan pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Untuk n = 1, 11^1 - 6 = 11 - 6 = 5.
Karena 5 habis dibagi 5, maka pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2: Langkah Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu 11^k - 6 habis dibagi 5. Ini berarti 11^k - 6 = 5m untuk suatu bilangan bulat m.
Sekarang, kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1, yaitu 11^(k+1) - 6 habis dibagi 5.

Perhatikan ekspresi untuk n = k + 1:
11^(k+1) - 6 = 11 * 11^k - 6
Kita tahu dari asumsi induksi bahwa 11^k = 5m + 6.
Substitusikan nilai 11^k ke dalam ekspresi:
11 * (5m + 6) - 6
= 55m + 66 - 6
= 55m + 60
= 5(11m + 12)

Karena 11^(k+1) - 6 dapat ditulis sebagai 5 dikalikan dengan bilangan bulat (11m + 12), maka 11^(k+1) - 6 habis dibagi 5.

Kesimpulan:
Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 11^n - 6 habis dibagi 5 untuk setiap bilangan asli n.