Nyatakan 2 cos x + sin x dalam bentuk R cos (x-alpha)

$2 \cos x + \sin x = \sqrt{5}\cos(x - 26.57^\circ)$. Solusi a: $x=90^\circ$ dan $x=323.14^\circ$. Batasan b: $-\sqrt{5} \le k \le \sqrt{5}$.

Pembahasan

Untuk menyatakan $2\cos x + \sin x$ dalam bentuk $R\cos(x-\alpha)$, kita gunakan identitas $R\cos(x-\alpha) = R(\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha) = (R\cos \alpha)\cos x + (R\sin \alpha)\sin x$.

Dengan menyamakan koefisien dari $\cos x$ dan $\sin x$ pada kedua ekspresi, kita dapatkan:
$R\cos \alpha = 2$  (1)
$R\sin \alpha = 1$  (2)

Kuadratkan dan jumlahkan kedua persamaan tersebut:
$(R\cos \alpha)^2 + (R\sin \alpha)^2 = 2^2 + 1^2$
$R^2\cos^2 \alpha + R^2\sin^2 \alpha = 4 + 1$
$R^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 5$
Karena $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, maka $R^2 = 5$. Karena $R > 0$, maka $R = \sqrt{5}$.

Untuk mencari $\alpha$, bagi persamaan (2) dengan persamaan (1):
$\frac{R\sin \alpha}{R\cos \alpha} = \frac{1}{2}$
$\tan \alpha = \frac{1}{2}$
Karena $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} > 0$ dan $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} > 0$, maka $\alpha$ berada di kuadran I. $\alpha = \arctan(\frac{1}{2})$.
Menggunakan kalkulator, $\alpha \approx 26.57^\circ$.

Jadi, $2\cos x + \sin x = \sqrt{5}\cos(x - 26.57^\circ)$.

a. Menyelesaikan persamaan $2\cos x + \sin x = 1$ untuk $0 \le x \le 360^\circ$:
Kita punya $\sqrt{5}\cos(x - 26.57^\circ) = 1$
$\cos(x - 26.57^\circ) = \frac{1}{\sqrt{5}}$
Misalkan $y = x - 26.57^\circ$. Maka $\cos y = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Nilai referensi untuk $y$ adalah $\arccos(\frac{1}{\sqrt{5}}) \approx 63.43^\circ$.
Karena $\cos y$ positif, $y$ bisa berada di kuadran I atau IV.
*   Kuadran I: $y_1 = 63.43^\circ$
    $x - 26.57^\circ = 63.43^\circ 
    x = 63.43^\circ + 26.57^\circ = 90^\circ$
*   Kuadran IV: $y_2 = 360^\circ - 63.43^\circ = 296.57^\circ$
    $x - 26.57^\circ = 296.57^\circ$
    $x = 296.57^\circ + 26.57^\circ = 323.14^\circ$

Solusi untuk $x$ antara 0 dan 360 adalah $90^\circ$ dan $323.14^\circ$.

b. Mencari batasan nilai $k$ agar persamaan $2\cos x + \sin x = k$ mempunyai penyelesaian real:
Kita sudah menyatakan $2\cos x + \sin x = \sqrt{5}\cos(x - 26.57^\circ)$.
Persamaan menjadi $\sqrt{5}\cos(x - 26.57^\circ) = k$.
Kita tahu bahwa nilai maksimum dari $\cos \theta$ adalah 1 dan nilai minimumnya adalah -1.
Jadi, nilai maksimum dari $\sqrt{5}\cos(x - 26.57^\circ)$ adalah $\sqrt{5} \times 1 = \sqrt{5}$.
Nilai minimum dari $\sqrt{5}\cos(x - 26.57^\circ)$ adalah $\sqrt{5} \times (-1) = -\sqrt{5}$.
Agar persamaan $\sqrt{5}\cos(x - 26.57^\circ) = k$ mempunyai penyelesaian real, nilai $k$ harus berada di antara nilai minimum dan maksimum ini.
Jadi, $-\sqrt{5} \le k \le \sqrt{5}$.