Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12mathKalkulus

lim x->5 ((2x^3 -20x^2 + 50x)/( sin^2 (x- 5)cos(2x -10)))

Pertanyaan

Hitunglah limit berikut: \(\lim_{x \to 5} \frac{2x^3 - 20x^2 + 50x}{\sin^2(x - 5)\cos(2x - 10)}\)

Solusi

Verified

10

Pembahasan

Untuk menyelesaikan \(\lim_{x \to 5} \frac{2x^3 - 20x^2 + 50x}{\sin^2(x - 5)\cos(2x - 10)}\), kita perlu menyederhanakan ekspresi dan menggunakan sifat limit. Langkah 1: Faktorkan pembilang. \(2x^3 - 20x^2 + 50x = 2x(x^2 - 10x + 25) = 2x(x-5)^2\) Langkah 2: Substitusikan kembali ke dalam limit. \(\lim_{x \to 5} \frac{2x(x-5)^2}{\sin^2(x - 5)\cos(2x - 10)}\) Langkah 3: Gunakan sifat limit trigonometri \(\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1\). Agar sesuai dengan bentuk ini, kita perlu memanipulasi penyebut. Kita tahu bahwa \(\sin^2(x-5) = (\sin(x-5))^2\). Untuk menggunakan sifat limit, kita bisa membagi dan mengalikan dengan \((x-5)^2\). \(\lim_{x \to 5} \frac{2x(x-5)^2}{\sin^2(x - 5)\cos(2x - 10)} = \lim_{x \to 5} \frac{2x}{\cos(2x - 10)} \times \frac{(x-5)^2}{\sin^2(x - 5)}\) Perhatikan bagian \(\frac{(x-5)^2}{\sin^2(x - 5)}\). Ini bisa ditulis sebagai \(\left(\frac{x-5}{\sin(x-5)}\right)^2\). Saat \(x \to 5\), \(x-5 \to 0\). Maka, \(\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{\sin(x-5)} = 1\). Jadi, \(\lim_{x \to 5} \left(\frac{x-5}{\sin(x-5)}\right)^2 = 1^2 = 1\). Sekarang, evaluasi bagian \(\frac{2x}{\cos(2x - 10)}\) saat \(x \to 5\). Pembilang: \(2x \to 2(5) = 10\). Penyebut: \(\cos(2x - 10) \to \cos(2(5) - 10) = \cos(10 - 10) = \cos(0) = 1\). Jadi, \(\lim_{x \to 5} \frac{2x}{\cos(2x - 10)} = \frac{10}{1} = 10\). Langkah 4: Kalikan hasil kedua bagian. Limit keseluruhan adalah \(10 \times 1 = 10\). Jawaban lengkapnya adalah 10.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Fungsi Trigonometri

Apakah jawaban ini membantu?